Рассмотрение немарковской системы массового обслуживания с двумя типами заявок. Расчет значений асимптотических характеристик немарковской системы. Выяснение возможности описания системы с помощью марковской модели и асимптотических характеристик.
Аннотация к работе
Основная цель исследования состояла в проверке допустимости описания подобной системы с помощью марковской модели. Первый метод заключался в описании системы с помощью марковской модели, второй состоял в построении математической модели СМО в виде трехмерного марковского процесса, третий метод представлял из себя создание имитационной модели СМО.
План
Содержание работы
Вывод
В ходе данной работы была рассмотрена немарковская система M|G|2|2 с двумя типами заявок. Основная цель исследования состояла в проверке допустимости описания подобной системы с помощью марковской модели. Для рассматриваемой СМО тремя различными способами были найдены значения основных асимптотических характеристик. Первый метод заключался в описании системы с помощью марковской модели, второй состоял в построении математической модели СМО в виде трехмерного марковского процесса, третий метод представлял из себя создание имитационной модели СМО. Последующее сравнение полученных результатов показало, что с помощью первого способа можно получить значения асимптотических характеристик системы, очень близкие к абсолютным. Таким образом, можно судить о корректности описания немарковской системы с помощью марковской модели СМО. Данный метод позволит значительно упростить и ускорить процесс оптимизации немарковских систем массового обслуживания. А поскольку именно такие системы чаще всего встречаются в реальности, то результаты данной работы могут быть применимы в любой сфере деятельности, связанной с обслуживанием заявок.
Список литературы
Введение
Теория массового обслуживания (ТМО) - наука, сочетающая в себе методы теории вероятностей и математической статистики. ТМО определяет оптимальную структуру систем массового обслуживания (СМО) и процесса обслуживания путем изучения входящих и исходящих потоков требований, длины очереди и длительности обслуживания на приборах.
ТМО наука сравнительно молодая, появилась она в начале двадцатого века, однако к нашему времени обрела небывалую популярность. Важность теории массового обслуживания для современного общества объясняется повсеместным применением систем массового обслуживания: кассиры, банкоматы, справочные центры, лифты и т. д. ТМО получила широкое распространение в таких областях как торговля, производство, транспорт, здравоохранение, телекоммуникации и т.д. Грамотная организация обслуживания, например, в супермаркете, позволяет снизить недовольство среди клиентов и тем самым повысить доходность торговой точки. На данный момент все больше и больше предприятий обращаются к методам ТМО.
В зависимости от характера входящего потока требований и распределения времени обслуживания все системы массового обслуживания можно разделить на два типа: марковские и немарковские. У марковских систем время обслуживания распределено экспоненциально, а входящий поток заявок пуассоновский. Если эти два требования не выполнены, то систему можно считать немарковской. Пуассоновским называют поток событий, обладающий свойством отсутствия последействия и ординарностью.
Марковские СМО очень хорошо изучены, им посвящено немалое количество научных трудов, поэтому проанализировать, а затем оптимизировать подобную систему массового обслуживания не составит труда. Совсем по-другому дела обстоят с немарковскими СМО. Для таких систем не существует стандартного набора формул для расчета основных асимптотических характеристик, поэтому процесс оптимизации немарковских СМО занимает длительное время и в обязательном порядке требует применения имитационного моделирования.
В моей работе я буду рассматривать немарковскую систему массового обслуживания с двумя типами заявок. Рассматриваемая СМО обладает пуассоновским входящим потоком требований, но время обслуживания для двух типов заявок распределено экспоненциально с различными параметрами, поэтому формулы для марковских СМО к такой системе в ее первоначальном виде не применимы.
Системы с несколькими типами заявок довольно часто встречаются в реальной жизни. Например, в поликлинике врач может выписывать пациенту справку или же проводить осмотр. Очевидно, что перед нами два типа заявок. Причем два вида пациентов приходят с различной частотой и время, необходимое для осмотра или выписки справки, также различное.
Как было сказано ранее, исследование немарковских систем массового обслуживания невозможно без имитационного моделирования, поэтому часть моей работы будет посвящена написанию программы для моделирования рассматриваемой СМО и расчета ее основных характеристик.
Но главной целью моего исследования является не обычное моделирование немарковской СМО, а выяснение возможности описания такой СМО с помощью марковской модели. Описав таким образом немарковскую систему, я рассчитаю для нее среднюю длину очереди и вероятность потери заявки, используя соответствующие стандартные формулы. В результате проделанной работы я получу два набора основных асимптотических характеристик для немарковской СМО. На основании совпадения или несовпадения значений в этих наборах можно будет судить об адекватности рассматриваемой марковской модели.
Рассчитать точные значения основных асимптотических характеристик немарковской системы можно не только с помощью имитационного моделирования, но и построив математическую модель СМО с двумя типами заявок в виде трехмерного марковского процесса. Построение такой модели занимает длительное время, однако полученные значения асимптотических характеристик позволяют не только проверить адекватность вышеназванной марковской модели, но и правильность программы, моделирующей немарковскую СМО.
Если по итогам проделанной работы можно будет сделать вывод о том, что немарковские системы можно описывать с помощью марковских моделей, то процесс их оптимизации возможно будет значительно облегчить использованием стандартных формул для марковских СМО. Рассмотренный пример с поликлиникой далеко не единственный, СМО с двумя типами заявок можно встретить и во многих других областях, например в производстве или банковском деле. Поэтому данное исследование, несомненно, принесет практическую пользу. марковский асимптотический немарковский заявка[1] Жидкова Л. А., Моисеева С. П. Математическая модель потоков покупателей двухпродуктовой торговой компании в виде системы массового обслуживания с повторными обращениями к блокам // Известия Томского политехнического университета [Известия ТПУ]. 2013. Т. 322, № 6: Экономика. Философия, социология и культурология. История. С. 5-9.
[2] Ивченко Г. И., Каштанов В. А., Коваленко И. Н. Теория массового обслуживания. Москва: Издательство «Высшая школа», 1982.
[3] Карташевский В. Г. Основы теории массового обслуживания. Учебник для вузов. М.: Горячая линия - Телеком, 2013.
[4] Якубович О. В., Дудовская Ю. Е. Многорежимная сеть массового обслуживания со случайным временем пребывания различных типов отрицательных заявок // Проблемы физики, математики и техники [ПФМТ]. 2012. № 4(13). С. 74-77
[5] Sage Tutorial in Russian. Выпуск 7.6 URL: http://doc.sagemath.org/pdf/ru/tutorial/SAGETUTORIAL_ru.pdf (дата обращения 27.04.2017 г.)