Модель неограниченного роста численности популяции. Уравнение Лотка-Вольтерра как математическая модель динамики системы "хищник-жертва". Изучение закономерностей динамики численности биологических популяций. Математическая теория борьбы за существование.
Аннотация к работе
Экосистема представляет собой сложную совокупность видов, взаимодействующих друг с другом, перемещающихся в пространстве, изменяющих свою численность. На все популяции, существующие в экосистеме, дополнительно воздействуют различные абиотические и антропогенные факторы. Математическая модель позволяет выявить наиболее важные факторы, влияющие на динамику той или иной популяции, наметить направление исследований и составить план необходимых наблюдений. Преимущества математического анализа очевидны: математическое моделирование не только помогает строго формализовать знания об объекте, но иногда дать количественное описание процесса, предсказать его ход и эффективность, дать рекомендации по оптимизации управления этим процессом. Частным случаем математического моделирования является - имитационное компьютерное моделирование, которое позволяет анализировать особенности взаимодействий популяции и факторов окружающей среды, рассматривать различные сценарии изменения этих факторов, давать прогнозы динамики численности популяций.На разных уровнях развития живой природы продукционные процессы проявляют себя по-разному, но их описание всегда включает рождение, рост, взаимодействие с внешней средой, в том числе с другими особями своего вида или других видов, смерть особей.Первая дошедшая до нас математическая модель динамики популяций приводится в книге «Трактат о счете», датированной 1202 годом, написанной крупнейшим итальянским ученым Леонардо Фибоначчи. В 1753 г. математик из Глазго Роберт Симпсон заметил, что при увеличении порядкового номера членов ряда отношение последующего члена к предыдущему приближается к числу , называемому «Золотым сечением», равному 1,6180…, или . Ряд Фибоначчи и его свойства также используются в вычислительной математике при создании специальных алгоритмов счета. Второй всемирно известной математической моделью, в основу которой положена задача о динамике численности популяции, является классическая модель неограниченного роста - геометрическая прогрессия в дискретном представлении, или экспонента, в непрерывном: , (2) Среди этих факторов может быть нехватка ресурса, вызывающая конкуренцию внутри популяции за продовольствие, хищничество, конкуренция c другими видами. Исследование этого уравнения в случае дискретного изменения численности в популяциях с неперекрывающимися поколениями показало целый спектр возможных типов решений, в том числе колебательные изменения разного периода и вспышки численности.Постановка задачи: построить модель неограниченного роста амеб. Создание математической модели: Используем формулу нарастания времени : , где - интервал нарастания времени (для амеб он равен 3). Расчет численности амеб вычисляется по формуле: , где - численность амеб в первый промежуток времени, - количество амеб в-й момент времени, - биотический потенциал амеб (он равен 2 для промежутка времени 3 часа). Численность популяции жертвы будет изменяться во времени (завися также от численности популяции хищника ) по такому уравнению: , где - численность популяции жертвы, - численность популяции хищника, - коэффициент рождаемости жертвы, - коэффициент смертности жертвы. Прирост популяции хищника описывается таким уравнением: , где - численность популяции жертвы, - численность популяции хищника, - смертность хищника, - коэффициент рождаемости хищника.Рассмотрим экологическую систему, содержащую волка, зайца и траву. Будем предполагать, что зайцы питаются растительной пищей, а волки питаются только зайцами. Прирост популяции волков, зайцев и травы рассчитаем по формулам: где - хищники, - жертвы, - трава; , , - коэффициенты рождаемости; , , - коэффициенты смертности. В ячейку В3 введем формулу для расчета прироста волков: Затем в ячейку С3 запишем формулу для вычисления численности зайцев: В ячейку D3 введем формулу для расчета прироста травы: Представим результаты в виде графика (рис.1)В настоящее время задачи экологии имеют первостепенное значение, так как стала актуальной проблема контроля над численностью популяций живых организмов в сложных экологических системах. Иногда требуется восстановить популяцию животных, находящихся на грани вымирания, а бывают случаи, когда нужно сократить число некоторых вредителей и удерживать их популяцию в заданном количестве.
План
Содержание
Введение
1. Существующие модели динамики популяций
1.1 Динамика численности популяций
2. Построение математической модели динамики популяций
2.1 Модель неограниченного роста численности популяции
2.2 Уравнение Лотка-Вольтерра как математическая модель динамики системы «Хищник-жертва»
2.3 Динамика популяций: волк, заяц и трава
Заключение
Список литературы
Введение
Экосистема представляет собой сложную совокупность видов, взаимодействующих друг с другом, перемещающихся в пространстве, изменяющих свою численность. На все популяции, существующие в экосистеме, дополнительно воздействуют различные абиотические и антропогенные факторы. Численность популяции зависит от погоды, химического состава среды и степени ее загрязнения. Непрерывно усиливающаяся хозяйственная деятельность человека приводит постепенно к необратимым изменениям многих природных систем. Их восстановление и рациональное использование является на сегодняшний день одной из важнейших задач, поскольку дальнейшее благополучное существование и развитие общества возможно только в гармонии с природой.
Изучение закономерностей динамики численности популяций необходимо для создания научных основ рационального использования полезных животных и борьбы с вредными насекомыми. При этом используются математические методы, в частности, моделирование. Математическая модель позволяет выявить наиболее важные факторы, влияющие на динамику той или иной популяции, наметить направление исследований и составить план необходимых наблюдений. Преимущества математического анализа очевидны: математическое моделирование не только помогает строго формализовать знания об объекте, но иногда дать количественное описание процесса, предсказать его ход и эффективность, дать рекомендации по оптимизации управления этим процессом. Это особенно важно для биологических процессов, имеющих прикладное и промышленное значение - биотехнологических систем, агробиоценозов, эксплуатируемых природных экосистем, продуктивность которых определяется закономерностями роста популяций живых организмов, представляющих собой «продукт» этих биологических систем.
Частным случаем математического моделирования является - имитационное компьютерное моделирование, которое позволяет анализировать особенности взаимодействий популяции и факторов окружающей среды, рассматривать различные сценарии изменения этих факторов, давать прогнозы динамики численности популяций. Поэтому вопрос разработки адекватного математического аппарата для изучения динамики популяций является актуальным.
Учитывая важность использования математического моделирования для изучения закономерностей динамики популяций, выбрана тема курсовой работы: «Математическое моделирование динамики популяций».
Целью курсовой работы является изучение математической модели динамики популяций.
Задачи: 1. Рассмотреть существующие модели динамики популяций.
2. Построить математические модели динамики популяций при помощи электронной таблицы MS Excel.
Вывод
В настоящее время задачи экологии имеют первостепенное значение, так как стала актуальной проблема контроля над численностью популяций живых организмов в сложных экологических системах. Иногда требуется восстановить популяцию животных, находящихся на грани вымирания, а бывают случаи, когда нужно сократить число некоторых вредителей и удерживать их популяцию в заданном количестве. При этом необходимо учесть, как те или иные изменения численности одной популяции отражаются на количестве особей остальных видов данной экосистемы. Подобные задачи решаемы, если проанализирована математическая модель, соответствующая требуемой ситуации.
В данной курсовой работе построены, решены, а также исследованы: модель неограниченного роста численности популяций, модель системы «хищник-жертва» по уравнению Лотка-Вольтерра, и модель динамики популяций: волк, заяц, трава.
Таким образом, все результаты, полученные численно, являются наглядными, а поэтому и необходимы математические модели, которые позволяют оценить возможные последствия воздействия человека на природу и организовать его деятельность так, чтобы не допустить «экологической катастрофы».