Определение и простейшие свойства измеримой функции. Дальнейшие свойства измеримых функций. Последовательности измеримых функций. Сходимость по мере. Структура измеримых функций. теоремы о приближении измеримых функций.
Аннотация к работе
Определение и простейшие свойства измеримой функции Если каждому x из множества E поставлено в соответствие некоторое число f(x), то мы будем говорить, что на множестве E задана функция f(x). При этом мы допускаем и бесконечные значения функции, лишь бы они имели определенный знак, т.е. вводим «несобственные» числа - и . Эти числа связаны между собой и с любым конечным числом a неравенствами - 0, ×a=a×( )=- , - ×a=a×(- )= , если aa) обозначать множество тех x из множества Е, для которых выполнено неравенство f(x)>а. Пусть f(x) есть измеримая функция, заданная на множестве Е. Пусть f(x) задана на измеримом множестве Е, представимом в форме суммы конечного числа или счетного множества измеримых множеств Еk : E= × Если f(x) измерима на каждом из множеств ER., то она измерима и на Е. Две функции f(x) и g(x), заданные на одном и том же множестве Е, называются эквивалентными, если mE (f¹g)=0 Обозначать эквивалентность функций f(x) и g(x) принято так: f (x) ~g(x).