Результаты исследования идентификации нелинейных моделей массообменных процессов. Основание методики идентификации на применении алгоритма АСЕ (алгоритм чередующегося условного математического ожидания) и введении априорно неидентифицируемого входа.
Аннотация к работе
При моделировании часто ставятся задачи построения новых, сложных моделей процессов, не имеющих математического описания [2]. Для построения адекватной модели (1) в виде (2) могут использоваться алгоритмы, позволяющие представить нелинейную функцию как сумму нелинейных функций от каждого входа, например, алгоритм АСЕ. Ставится задача разработки методики определения идентифицируемости нелинейных моделей с применением алгоритма АСЕ и введением в модель априорно неидентифицируемого входа и исследования результатов ее использования при определении идентифицируемости моделей ВА качества выходного продукта по доле изопентана и доле бензолообразующих компонентов в дистилляте промышленной РК. Для определения степени идентифицируемости используется специально введенный в модель искусственный вход, содержащий случайные значения или, как вариант, константу, никак не влияющий на выход. Исходя из определения идентифицируемости модели, можно сделать вывод, что при различных значениях входов в модель, в допустимом диапазоне для каждого входа, существует определенная закономерность, посредством которой Х преобразуется в Y.Предложенная методика определения идентифицируемости моделей на основе алгоритма АСЕ и априорно неидентифицируемого входа, проверена на различных моделях [9, 10, 11] массообменных процессов в РК при заданных условиях и различных выборках данных.
Введение
Идентификация систем в теории управления - определение структуры системы и ее параметров путем анализа входных и выходных данных системы. В свою очередь, идентифицируемость - это не метод восстановления ее параметров, а такое же системное свойство, как управляемость и наблюдаемость, позволяющее построить адекватную модель на выбранных данных в заданных условиях [1].
При моделировании часто ставятся задачи построения новых, сложных моделей процессов, не имеющих математического описания [2]. Одним из таких процессов является процесс массообмена в ректификационной колонне (РК). Для построения моделей таких процессов необходимо убедиться, что в заданных условиях (при ограниченности выборки в силу различных, как технических, так и временных обстоятельств) можно подобрать адекватную модель, т.е. удостовериться в ее идентифицируемости.
В докладе предложена методика определения степени идентифицируемости модели качества выходного продукта РК с помощью алгоритма АСЕ при априорно неидентифицируемом входе [3, 4]. Представлены примеры определения идентифицируемости моделей массообменных процессов, описанных с помощью виртуальных анализаторов (ВА) [5] качества выходного продукта РК [6].
Постановка задачи
Пусть нелинейная модель описывается следующим уравнением: , (1) где Х - вектор состояний, u - внешние входные управляющие сигналы, p - вектор параметров и d - вектор измерений.
Согласно теореме Колмогорова правая часть выражения (1) может быть представлена в виде [7, 8]: . (2)
Для построения адекватной модели (1) в виде (2) могут использоваться алгоритмы, позволяющие представить нелинейную функцию как сумму нелинейных функций от каждого входа, например, алгоритм АСЕ.
Ставится задача разработки методики определения идентифицируемости нелинейных моделей с применением алгоритма АСЕ и введением в модель априорно неидентифицируемого входа и исследования результатов ее использования при определении идентифицируемости моделей ВА качества выходного продукта по доле изопентана и доле бензолообразующих компонентов в дистилляте промышленной РК.
Принцип определения идентифицируемости исследуемой модели
Для определения степени идентифицируемости используется специально введенный в модель искусственный вход, содержащий случайные значения или, как вариант, константу, никак не влияющий на выход. С помощью алгоритма ACE формируется оптимальное преобразование для полученной выборки [3].
Оптимальное преобразование включает функциональную зависимость для каждого и случайные отклонения , имеющие в среднем одинаковую амплитуду, величина которой обратно пропорциональна размеру выборки (числу измерений).
Разность между максимальным и минимальным значениями функции , которую восстанавливает соответствующее преобразование тем больше, чем большую роль играет в формировании Y, т.е., эта разность пропорциональна доле вклада данного среди всех входов X. Для неидентифицируемого входа Y от не зависит, поэтому не меняется, т.е. максимальное и минимальное значения не различаются.
Таким образом, идентифицируемость каждого можно оценить, разделив крайние значения для на крайние для искусственного неидентифицированного . Получающаяся величина: , (3) где iden - это оценка идентифицируемости модели; - максимальное значение оптимального преобразования АСЕ для текущего входа; - минимальное значение оптимального преобразования АСЕ для текущего входа.
Значение iden будет тем больше, чем лучше идентифицируемость и чем больше выборка, т.к. уменьшается с увеличением размера выборки. В (3) величина является отклонением текущего значения для от значения, которое должно получиться в идеальном случае. Его можно оценить из функциональной зависимости , предполагая, что данная зависимость известна, как в нашем искусственно заданном случае. нелинейная модель массообменный процесс
Рис. 1. Принцип определения идентифицируемости по алгоритму АСЕ.
Из рис.1 следует, что при неидентифицируемом входе весь средний размах значений в (3) определяется только ошибкой и уменьшается с ростом количества измерений. Если же влияет на Y, то он, будучи обусловленным разницей значений , остается постоянным, а добавка, связанная со случайной ошибкой, уменьшается. Таким образом, соотношение среднего размаха значений будет увеличиваться с ростом числа измерений, а его величина будет указывать на степень идентифицируемости входа.
Подход к определению идентифицируемости исследуемой модели
Исходя из определения идентифицируемости модели, можно сделать вывод, что при различных значениях входов в модель, в допустимом диапазоне для каждого входа, существует определенная закономерность, посредством которой Х преобразуется в Y.
Она должна соблюдаться при любых допустимых значениях на входах в модель. На основе этого предлагается подход, позволяющий идентифицировать модель с помощью алгоритма АСЕ.
Он следующим образом применяется для определения идентифицируемости модели: Шаг 1. К матрице данных (выборке) исследуемой модели присоединяем столбец со случайными значениями в диапазоне от 0 до 1 - априорно неидентифицируемый вход.
Шаг 2. Применяем алгоритм АСЕ к обновленной матрице данных для получения базового набора векторов оптимальных преобразований по каждому входу исследуемой модели (с базовым набором векторов попарно сравниваются последующие вычисления Шага 4).
Шаг 3. В обновленной матрице данных модели к каждому столбцу добавляем случайное значение, имитирующее ошибки измерения и не изменяющее сути модели.
Оно должно быть достаточно мало, чтобы практически не влиять на вид зависимости Y от Х, например, в диапазоне [0.00: 0.01].
Следует отметить, что добавление небольшого случайного значения делается с целью изменения результата работы алгоритма АСЕ по вычислению векторов оптимальных преобразований.
Это связанно с тем, что преобразование ACE строится не по самим значениям , а по их порядковым номерам в отсортированном массиве . Поэтому достаточно поменять местами пару точек, чтобы алгоритм ACE перетасовал все точки результирующей кривой оптимального преобразования .
Шаг 4. Применяем метод АСЕ к преобразованной матрице данных и получаем новый набор векторов оптимальных преобразований .
Шаг 5. Вычисляем разность между результатами Шага 2 для базового набора векторов и Шага 4 для матрицы данных с малыми случайными вариациями значений входов и рассчитываем среднее значение квадратов отклонений преобразованной матрицы данных от базовой матрицы данных.
Шаг 6. Повторяем Шаги 3-5 заданное число раз N для получения более точного усредненного, результата и вычисляем среднее значение для каждого входа.
Шаг 7. Рассчитываем относительный вклад каждого входа в модель, нормированный на вклад неидентифицируемого входа по формуле
, где - оценка идентифицируемости модели по i-тому входу; - среднее значение сумм разностей для неидентифицированного входа; - среднее значение сумм разностей для текущего входа.
Шаг 8. Вычисляем среднее отклонение и средний вклад каждого входа в модель.
Применение предлагаемого подхода для промышленных данных
Предложенный подход применен для определения идентифицируемости моделей массообменных процессов на промышленной РК. Модели ВА качества выходного продукта промышленной РК построены с помощью выборки данных этой РК. Их входы выбраны, исходя из физического смысла массообменного процесса, проходящего в колонне (табл.1).
Таблица 1. Входы в модель ВА
Y (доля изопентана) моль/кг Тв (температура вверху РК)°С Твп (температура верха выходного продукта)°С Твр (температура входа продукта)°С Спк (поток сырья на входе в РК) М3/ч Твых (температура выхода продукта)°С От (количество производимого продукта) т/ч
Имя входа TIC653 TI667 TI666 FIC606 TI654 FIC622
Y X1 X2 X3 X4 X5 X6
На основе промышленных данных и лабораторных исследований были сформированы две выборки: первая - для модели по доле изопентана, вторая - для модели по доле бензолообразующих. К выборкам добавлен априорно неидентифицируемый вход X7 со случайными значениями и с нормальным распределением в диапазоне [0: 1].
Обе выборки исследовались с помощью коэффициентов корреляции (табл.2,3).
Таблица 2. Коэффициенты корреляции данных по доле изопентана
Значения коэффициентов корреляции для обеих выборок указывают на хорошую зависимость выхода с входом Х6. Вход Х3 дает корреляцию близкую к нулю, свидетельствующую либо о сильной нелинейности данных, либо об отсутствии зависимости между входом и выходом . Значение коэффициента корреляции для априорно неидентифицируемого входа Х7, как и ожидалось, также близко к нулю. Остальные входы показывают неопределенное состояние.
Для оценки идентифицируемости моделей был применен вышеописанный подход. Результаты представлены в табл.4, 5 и на рис.2, 3.
Таблица 4. Результаты для данных по доле изопентана параметр Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 mean 0.0792 0.465 0.139 0.805 0.388 0.176 0.102 0.839 std 0.0239 0.091 0.068 0.199 0.116 0.061 0.037 0.295 iden 10.594 1.805 6.035 1.043 2.162 4.773 8.229 1.000
Таблица 5. Результаты для данных по доле бензолообразующих параметр Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 mean 0.070 0.791 0.176 0.672 0.320 0.278 0.112 1.082 std 0.020 0.109 0.072 0.139 0.099 0.071 0.040 0.274 iden 15.386 1.369 6.138 1.611 3.382 3.898 9.642 1.000
Здесь std - среднеквадратическое отклонение текущих оптимальных преобразований АСЕ от базовых.
Рис. 2. Преобразованная матрица данных после применения алгоритма АСЕ (20 итераций) для модели по доле изопентана
Рис.3. Преобразованная матрица данных после применения алгоритма АСЕ (20 итераций) для модели по доле бензолообразующих
Значения оценки идентифицируемости iden для исследуемых моделей существенно больше единицы (10.594 для изопентана, 15.386 для доли бензолообразующих). В ходе исследований было выявлено статистически, что если для модели массообменных процессов значение iden для модели равно или больше 5 при количестве измерений в выборке от 50 до 500, то она является идентифицируемой. В результате применения разработанной методики было выявлено, что для моделей ВА малоинформативными входами являются входы Х1, Х3.
Значения std показывают разницу между базовыми и текущими значениями оптимальных преобразований, на чем основан подход определения идентифицируемости: чем больше разница значений между оптимальными преобразованиями, полученными на основе алгоритма АСЕ, тем хуже идентифицируемость модели.
Значения mean показывают среднее значение разницы между предыдущими и текущими значениями модели. В приведенном исследовании сравнивалось 20 моделей с целью усреднения значений.
Результаты применения изложенного подхода позволили оценить идентифицируемость моделей ВА по доле бензолообразующих веществ и доле изопентана в выходном продукте массообменного технологического процесса.
Вывод
Предложенная методика определения идентифицируемости моделей на основе алгоритма АСЕ и априорно неидентифицируемого входа, проверена на различных моделях [9, 10, 11] массообменных процессов в РК при заданных условиях и различных выборках данных.
Работа выполнена при частичной поддержке грантов ДВО РАН № 12-I-П17-02 и № 12-I ОЭММПУ-04 и гранта ДВО-РФФИ № 11-08-98500-р_восток_а.
Список литературы
1. Балонин Н.А. Б 20 Новый курс теории управления движением. - СПБ.: Изд-во С. - Петерб. ун-та, 2000.160 с.
2. Wang D., Murphy M. Estimating optimal transformations for multiple regression using the ACE algorithm // Journal of Data Science. 2004. Vol.2. P.329-346.
3. L. Breiman, J. Friedman, Estimating optional transformations for multiple regression and correlation.80 (1985) 580-78.
4. S. Hengl, C. Kreutz, J. Timmer, and T. Maiwald. Data-based identifiability analysis of nonlinear dynamical models. Bioinformatics, 23 (19): 2612-2618, Oct 2007.
6. Holland, C. D. Fundamentals of multicomponent distillation / C. D. Holland. - New York: MCGRAW-Hill Book Company, 1981. - 633.
7. В.И. Арнольд, Избранное-60, М.: Фазис, 1997. С.18, теорема 4.
8. J. Braun and M. Griebel. On a Constructive Proof of Kolmogorov"s Superposition Theorem. Constructive Approximation, 30: 653, 2009. Also available as SFB611 preprint no 342/2007.
9. А.Ю. Торгашов, Г.Б. Диго, Н.Б. Диго, И.С. Можаровский. Разработка моделей показателей качества ректификационных колонн, функционирующих в предельных режимах // Труды IX Международной конференции "Идентификация систем и задачи управления" SICPRO’12. - М.: Институт проблем управления им.В.А. Трапезникова РАН, 2012.
10. Г.Б. Диго, Н.Б. Диго, И.С. Можаровский, А.Ю. Торгашов. Исследование методов идентификации моделей виртуальных анализаторов показателей качества ректификационной колонны // Фундаментальные и прикладные вопросы механики и процессов управления. Всероссийская науч. конф., посвященная 75-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова.11-17 сент. 2011 г., Владивосток: сб. докл. [Электронный ресурс]. - Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2011. С.412-418.
11. Г.Б. Диго, Н.Б. Диго, И.С. Можаровский, А.Ю. Торгашов. Исследование моделей виртуальных анализаторов массообменного технологического процесса ректификации // Информатика и системы управления. - 2011. №4 (30). С.17-27.