Основные понятия несобственных интегралов первого и второго рода как одно из направлений математического анализа. Признаки сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций и особенности их применение их при решении практических задач.
Аннотация к работе
Несобственные интегралы - одно из направлений, которое изучается дисциплиной математический анализ. При введении самого понятия определенного интеграла (исходного в интегрировании), а также для того, чтобы рассмотреть задачи, которые тесно связанны с ним, делалось все время предположение, что область интегрирования конечна, а сама интегрируемая функция на этом интервале непрерывна. интеграл математический задача сходимость Однако существует обширный ряд задач, в которых зачастую встречаются именно такие случаи бесконечных интервалов интегрирования или разрывных функций. Если существует конечный предел, то этот предел называется несобственным интегралом с бесконечным пределом от функции. То есть имеющих его своим пределом (так, для вычисления длины окружности используется последовательность длин периметров правильных многоугольников, вписанных в окружность; для вычисления значений функций используются последовательности частичных сумм рядов, которыми представляются данные функции).Если этот предел существует и конечен, несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае - расходящимся. Последний интеграл называется сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части равенства независимо от выбора числа a. Вычислить интеграл или установить его расходимость Данный интеграл сходится, его величина равна Обобщая результаты исследования сходимости двух последних интегралов, имеем: несобственный интеграл 1-города сходится при p>1 и расходится при p?1.Первая и вторая теоремы сравнения, которые будут рассмотрены ниже, в значительной степени помогают исследовать несобственные интегралы на сходимость. Поскольку 0?f(x)?g(x) и функции непрерывны, то По условию интеграл сходится, т.е. имеет конечную величину. Предположим, что интеграл сходится, но тогда должен сходиться интеграл , что противоречит условию. Несобственный интеграл представляет собой эталонный интеграл 1-города, который при p=<1 является расходящимися, следовательно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 1-города интеграл расходятся также. Несобственный интеграл есть эталонный интеграл 2-города, который при p=<1 сходится; следовательно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 2-города интеграл сходится также.Вычислим интеграл по определению: Таким образом, данный интеграл сходится при а>1 и расходится при а<1. Интеграл запишется в виде: Разложим дробь в сумму элементарных дробей: 1/(t·(t 3))=?(1/t-1/(t 3)) Тогда Интеграл I? является несобственным: знаменатель подынтегральной функции обращается в ноль в начале координат-то есть в точке t = 0. Принимая во внимание, что подынтегральная функция нечетная, представим интеграл в виде суммы двух интегралов, пределы одного из которых симметричны относительно начала координат: Интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции с симметричными пределами интегрирования. Интеграл I? является несобственным: знаменатель подынтегральной функции обращается в ноль в точке t = 0.Несобственный интеграл - это определенный интеграл, у которого один из пределов является бесконечным или функция f(х) имеет одну или несколько точек разрыва внутри рассматриваемого отрезка. У интеграла существует конечный предел - этот предел называется несобственным интегралом с бесконечным пределом от функции. Отсюда возникает, изученное нами понятие - сходимость, которое означает, что несобственный интеграл имеет предел. В курсовой работе мы рассмотрели виды несобственных интегралов, а именно первого и второго рода, также была изучена сходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций и изучено практическое применение несобственных интегралов.
Вывод
В своей курсовой работе мною было изучено понятие несобственных интегралов. Несобственный интеграл - это определенный интеграл, у которого один из пределов является бесконечным или функция f(х) имеет одну или несколько точек разрыва внутри рассматриваемого отрезка.
У интеграла существует конечный предел - этот предел называется несобственным интегралом с бесконечным пределом от функции. Отсюда возникает, изученное нами понятие - сходимость, которое означает, что несобственный интеграл имеет предел.
В курсовой работе мы рассмотрели виды несобственных интегралов, а именно первого и второго рода, также была изучена сходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций и изучено практическое применение несобственных интегралов. Из ряда выполненных задач следует, что мы достигли цели данной курсовой работы.
Несобственные интегралы выполняют различные функции во многих областях математического анализа, а также в его приложениях. Например, в теории специальных функций главным способом изучения является наглядное изображение функций в виде несобственных интегралов, зависящих, например, от параметра.
Решение краевых задач в области физики осуществляются также с помощью несобственных интегралов. В теории вероятностей при решении задач тоже применяются несобственные интегралы.
Но наибольший интерес представляют для нас несобственные интегралы с точки зрения экономической науки. Из рассмотренных нами примеров в одной из глав мы, действительно, могли убедиться в необходимости такого понятия, как несобственный интеграл. При исследовании различных экономических показателей, таких как коэффициент Джинни или дифференциация по уровню дохода, нельзя обойтись без несобственного интеграла.
Из всего вышеперечисленного, мы приходим к выводу, что несобственный интеграл играет важнейшую роль в различных науках, а следовательно его изучение необходимо для профессионального развития, дабы без труда применять данное понятие на практике.
Список литературы
1. Малугин В.А. Математика для экономистов: Математический анализ. - М.:Эксмо, 2005.- 272 с.
2. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. 3-е изд. - М.:2007-479 с.
3. Математические методы и модели в экономике / Орехов Н.А., Левин А.Г., Горбунов Е.А. - М.: Юнити-Дана, 2004 - 302 с.
4. Экономико-математические методы и модели в управлении производством /под ред. А.С, Пелих, Л.Л. Терехов, Л.А. Терехова. - Ростов н/Д: «Феникс», 2005 - 248 с.
5. Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Исследование операций в экономике. Учебное пособие. - М.: Инфра-М, 2003- 444 с.