Применение динамических систем с дискретным и непрерывным временем. Математическая модель управляемого судна. Появление эффекта фазового пятна – понижение управляемости и начальная неуправляемость. Удерживание неустойчивого судна на прямом курсе.
Аннотация к работе
Точкой отсчета современного периода развития теории можно считать появление работ Калмана, в которых были получены условия управляемости систем, правые части которых являются линейными функциями по состояниям и управлениям. За последние годы были разработаны новые методы исследования управляемости динамических систем и выявлен ряд причин, обусловливающий управляемость или неуправляемость динамических систем. Класс систем, линейных по управлению, представляется особенно важным, так как предполагается, что управление будет осуществляться достаточно малыми по величине воздействиями, что не приводит к существенному изменению динамики исходной системы. Несколько огрубляя ситуацию, можно сказать, что эта разница поведения проявляется в том, что у систем с регулярным поведением близкие траектории не расходятся на протяжении достаточно большого промежутка времени, а у систем с хаотическим поведением траектории расходятся достаточно быстро. Отметим, что у систем, пограничных между этими классами, указанные свойства ослабляются, и с практической точки зрения отнести эти системы к каким-либо определенным классам иногда бывает затруднительно.Современная теория динамических систем является собирательным названием для исследований, где широко используются и эффективным образом сочетаются методы из различных разделов математики: топологии и алгебры, алгебраической геометрии и теории меры, теории дифференциальных форм, теории особенностей и катастроф. Теория бифуркаций помогает в рассмотрении параметрического портрета системы, определяющего, как зависит от параметров расположение бифуркационных границ, на которых происходит изменение числа и типа стационарных решений, а значит, и изменение фазового портрета. К первой отнесем системы, работающие в определенном стационарном режиме. Бифуркационная ситуация для таких систем аномальна, а опасные бифуркации представляют потенциально аварийные ситуации. Проиллюстрируем применения общих закономерностей, полученных при теоретическом исследовании поведения динамических систем в окрестности опасных бифуркационных границ, к решению прикладных задач в конкретных динамических системах второй группы.Силы и моменты связаны с инерционными свойствами судна и воды, обусловлены вязкостью воды, а также воздействием потока на корпус судна и руль. Наиболее удобными координатами состояния судна оказались координаты его центра тяжести x и y, угол курса y, угловая скорость вращения вокруг вертикальной оси и угол дрейфа ? между направлением скорости судна v и его продольной осью симметрии (рис. Если судно идет прямолинейным курсом с неотклоненным рулем (u = 0), то его продольная ось совпадает с направлением скорости (? = 0). Этот стационарный режим будет устойчивым в том случае, если при возникновении незначительных w, а вслед за этим и угла ?, то есть появлении несимметричного обтекания, возникающие силы и моменты заставляют судно возвращаться в исходное состояние. Режим устойчив, если при случайных отклонениях от w, ? возникающие момент и поперечная сила возвращают судно к исходному режиму циркуляции.Мы рассмотрели, как существование области заторможенного движения (фазового пятна) может привести к потенциально аварийным ситуациям. Вместе с тем, располагая знаниями о расположении такой области в фазовом пространстве неустойчивого судна, целесообразно в определенных случаях преднамеренно планировать прохождение через нее фазовой траектории. В следующем примере, относящемся к проблеме стабилизации неустойчивости, речь пойдет об удерживании неустойчивого судна на прямом курсе. Информация о характере отклонения судна от курса поступает от специальных датчиков и преобразуется в соответствии с определенным алгоритмом. В соответствии с теоремой о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных значений начинающиеся в рассматриваемых точках две фазовые траектории должны оставаться близкими в течение определенного времени.В современной науке понятие динамической системы охватывает системы практически любой природы - физические, химические, биологические, экономические, социальные и др. При этом системы характеризуются различной внутренней организацией-жестко-детерминированные, стохастические, нелинейные, системы с элементами самоорганизации, самоорганизующиеся. Представления же о развитии этих систем отражают такие изменения их структурной организации, которые ведут к более эффективному выполнению системой своих основных функций.
План
Содержание
Введение
1. Что такое динамическая система
2. Применение динамических систем
2.1 Математическая модель управляемого судна
2.2 Появление эффекта фазового пятна - понижение управляемости и начальная неуправляемость
2.3 Стабилизация неустойчивости
Заключение
Литература
Введение
Проблема управляемости имеет длинную историю и продолжает оставаться одной из самых актуальных проблем теории управления. Точкой отсчета современного периода развития теории можно считать появление работ Калмана, в которых были получены условия управляемости систем, правые части которых являются линейными функциями по состояниям и управлениям. Вслед за этими работами появились многочисленные работы других авторов и за почти полувековой период получено много результатов по управляемости динамических систем. За последние годы были разработаны новые методы исследования управляемости динамических систем и выявлен ряд причин, обусловливающий управляемость или неуправляемость динамических систем.
Практически одновременно с исследованием управляемости линейных систем стала исследоваться управляемость нелинейных систем. Было сделано несколько попыток создания общей, или абстрактной теории систем (работы Калмана Р., Кухтенко А.И., Блкина В.И. и некоторые другие). Ряд интересных результатов получен благодаря применению методов обшей теории, однако большинство работ посвящено исследованию более частных вопросов. Много результатов получено при исследовании управляемости динамических систем, принадлежащих конкретным классам систем. Важным классом нелинейных систем является класс билинейных систем, т.е. систем, правые части которых являются билинейными функциями по состояниям и управлениям.
Линейные и билинейные системы являются простейшими моделями локального описания систем управления. А именно, линейная система является моделью системы управления в окрестности точки общего положения, билинейная система является моделью систем управления в окрестности точки покоя.
Значительные успехи в исследовании управляемости нелинейных систем были достигнуты благодаря применению геометрических и алгебраических методов исследования управляемости, в частности применению дифференциально-геометрических и теоретико-групповых методов. Это направление было актуальным на протяжении многих лет. Описание результатов, полученных применением дифференциально-геометрических и теоретико-групповых методов, можно найти в ряде обзоров, в частности в обзоре Андреева Ю.Н., в обзоре Аграчева A.A., Вахрамеева С.А., Гамкрелидзе Р.В. и в обзоре Вахрамеева С.А. и Сарычева А.В. В этих обзорах приводятся результаты по управляемости гладких динамических систем как абстрактных так и более конкретных классов. Некоторые новые результаты отражены в книге Аграчева А.А и Сачкова Ю.Л. Класс систем, линейных по управлению, представляется особенно важным, так как предполагается, что управление будет осуществляться достаточно малыми по величине воздействиями, что не приводит к существенному изменению динамики исходной системы. В рамках дифференциально-геометрического подхода был получен ряд результатов по управляемости систем, линейных по управлению. Следует отметить, что дифференциально-геометрические методы являются наиболее подходящими для исследования свойств локальной управляемости, в целом же проблема управляемости имеет глобальный характер, т.е. относится ко всему пространству состояний. С этой точки зрения интерес представляют нелинейные системы достаточно общего вида.
Однако, разграничение систем по признаку линейный или нелинейный представляется поверхностным и не раскрывает особенностей этих систем.
Действительно, если в линейной системе сделать замену переменных, т.е. рассмотреть ее в новой системе координат, то она станет нелинейной, но сущность ее при этом не изменится. Возможны и обратные замены переменных, превращающие нелинейные системы в линейные. Установить существование таких замен переменных является трудной задачей.
Более адекватным представляется деление систем на классы по характеру поведения (простое или сложное) их траекторий. Сходным, хотя и не тождественным, является деление систем на классы по принципу регулярности или хаотичности поведения их траекторий. Наиболее отчетливо свойства регулярного поведения проявляются у систем Морса-Смейла, а свойства хаотического поведения - у гиперболических систем вблизи их аттракторов достаточно сложной структуры, которые иногда называют странными. Несколько огрубляя ситуацию, можно сказать, что эта разница поведения проявляется в том, что у систем с регулярным поведением близкие траектории не расходятся на протяжении достаточно большого промежутка времени, а у систем с хаотическим поведением траектории расходятся достаточно быстро. Отметим, что у систем, пограничных между этими классами, указанные свойства ослабляются, и с практической точки зрения отнести эти системы к каким-либо определенным классам иногда бывает затруднительно. В частности, некоторые системы Морса-Смейла с достаточно большим числом компактных инвариантных множеств могут демонстрировать весьма сложное поведение. Как известно, одним из сценариев возникновения хаоса является переход через границу класса систем Морса-Смейла.
Одним из факторов, влияющих на управляемость систем, является ее способность возвращаться в исходные состояния. Свойством возвращаемости могут обладать как системы с регулярным, так и хаотическим поведением.
Другим фактором, влияющих на управляемость систем, является соотношение исходных характеристик пространства состояний с характеристиками, индуцированными системой управления. Например, каким образом управляемость зависит от соотношения исходной топологии пространства состояний и топологии, индуцированной динамической системой управления. Другой пример показывает, что система управления с регулярным поведением индуцирует в пространстве состояний структуру специального клеточного комплекса, свойства которого обусловливают управляемость системы. На свойствах этого клеточного комплекса основан метод Болтянского В.Г. регулярного синтеза управлений. Исследуется вопрос о существовании клеточных комплексов специального вида для рассмотренных классов регулярных систем.
Опыт исследования систем с разными типами поведения показывает, что обычно оказывается невозможно управлять системами с регулярным и хаотическим поведением одними и теми же способами. Для систем с регулярным поведением успешно применяется метод регулярного синтеза управлений. Для систем с хаотическим поведением для управления часто используется существование всюду плотных траекторий. Таким образом, не существует универсального метода исследования управляемости произвольных динамических систем, кроме их численного моделирования. Численное моделирование имеет следующие недостатки. Во-первых, изза того, что динамическая система имеет бесконечное множество состояний, часто не представляется возможным ее исчерпывающее исследование. Во-вторых, численное моделирование не дает обычно понимания причин управляемости или неуправляемости динамических систем. Эти обстоятельства являются побудительными мотивами для качественного исследования динамических систем управления, причем при исследовании учитываются особенности систем с регулярным или хаотическим поведением.
1. Что такое динамическая система?
Динамическая система представляет собой математическую модель некоторого объекта, процесса или явления.
Динамическая система также может быть представлена как система, обладающая состоянием. При таком подходе, динамическая система описывает (в целом) динамику некоторого процесса, а именно: процесс перехода системы из одного состояния в другое. Фазовое пространство системы - совокупность всех допустимых состояний динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояние в другое.
Различают системы с дискретным временем и системы с непрерывным временем.
В системах с дискретным временем, которые традиционно называются каскадами, поведение системы (или, что то же самое, траектория системы в фазовом пространстве) описывается последовательностью состояний. В системах с непрерывным временем, которые традиционно называются потоками, состояние системы определено для каждого момента времени на вещественной или комплексной оси. Каскады и потоки являются основным предметом рассмотрения в символической и топологической динамике.
Динамическая система (как с дискретным, так и с непрерывным временем) часто описывается автономной системой дифференциальных уравнений, заданной в некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Положениям равновесия динамической системы соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а замкнутые фазовые кривые - его периодическим решениям.
Основное содержание теории динамических систем - это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (аттракторы) и отталкивающих (репеллеры) множеств (многообразий). Важнейшие понятие теории динамических систем - это устойчивость (способность системы сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии) и грубость (сохранение свойств при малых изменениях структуры динамической системы; «грубая система - это такая, качественный характер движений которой не меняется при достаточно малом изменении параметров»[1]).
Привлечение вероятностно-статистических представлений в эргодической теории динамических систем приводит к понятию динамической системы с инвариантной мерой.
Вывод
В современной науке понятие динамической системы охватывает системы практически любой природы - физические, химические, биологические, экономические, социальные и др. При этом системы характеризуются различной внутренней организацией-жестко-детерминированные, стохастические, нелинейные, системы с элементами самоорганизации, самоорганизующиеся.
Важнейшим свойством динамических систем является их устойчивость, т. е. сохранение системой своей базовой структуры и основных выполняемых функций в течение определенного времени и при относительно небольших и разнообразных внешних воздействиях и внутренних возмущениях. Устойчивость есть внутреннее свойство систем, а не результат внешнего воздействия. Представления же о развитии этих систем отражают такие изменения их структурной организации, которые ведут к более эффективному выполнению системой своих основных функций. Качественные перестройки систем анализируются в теории катастроф, которая рассматривается как ветвь общей теории динамических систем.
Развитие представлений о динамических системах связано с переходом к познанию все более сложных систем. При этом особую роль приобретает изучение динамики внутренних свойств систем. В случае механических систем действие внутренних факторов сводилось к силам инерции. По мере усложнения систем возрастает значение внутренних факторов. На первый план выходят проблемы изучения источников внутренней активности систем и природы их целенаправленного функционирования и поведения.
Список литературы
1. Фейгин М.И. Особенности поведения динамических систем в окрестности опасных бифуркационных границ // Соросовский Образовательный Журнал. 1999. № 7. С. 122-127.
3. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Глава I, Непрерывные и дискретные детерминированные системы// Математическая теория конструирования систем управления. - М.: Высшая школа, 2003.- 614с.
4. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения.-М.:Наука, 1966.