Использование модуля LinAlg и LinearAlgebra для решения основных задач аналитической геометрии - Курсовая работа

В этом смысле СКА - междисциплинарная область между математикой и информатикой, в которой исследования сосредотачиваются как на разработке алгоритмов для символьных (алгебраических) вычислений и обработки на компьютерах, так и на создании языков программирования и программной среды для реализации подобных алгоритмов и базирующихся на них проблем различного назначения. Исследователи используют пакет Maple как важный инструмент при решении задач, связанных с их исследованиями. Пакет Maple воплощает новейшую технологию символьных вычислений, числовых вычислений с произвольной точностью, наличие инновационных Web-компонент, расширяемой технологии пользовательского интерфейса (Maplets), и весьма развитых математических алгоритмов для решения сложных математических задач. Небольшая часть команд для решения задач линейной алгебры содержится в стандартной библиотеке и пакете Student, большая же часть находится в пакетах Linalg и LINEARALGEBRA. Несмотря на эффективность реализованных в нем алгоритмов, этот пакет обладает несколькими недостатками: для выполнения матричных операций нужно использовать или команду evalm, или специальные команды, а самое главное - ограниченные возможности работы с числовыми матрицами большого порядка.Пакет линейной алгебры Linalg содержит команды создания матриц и векторов, предлагает большой набор функций для работы со структурой этих объектов, для выполнения матричных и векторных операций и непосредственно для решения задач линейной алгебры: решение систем линейных алгебраических уравнений, нахождение собственных векторов и собственных векторов матрицы, приведение матриц к специальным формам. И все эти действия можно проводить с матрицами и векторами, элементы которых могут быть общими алгебраическими выражениями, получая результаты также виде алгебраических выражений. Определить матрицу или вектор в Maple можно двумя способами: либо с помощью команды array () стандартной библиотеки, или командами matrix () и vector () пакета Linalg. Для вычисления некоторых характеристик матриц нужно осуществлять преобразование самих матриц, например, прибавление к одной строке матрицы линейную комбинацию некоторых других, или выделять некоторые подматрицы, к примеру, для вычисления миноров матрицы. Добавить строки или столбцы в матрицу А можно командой extend (A, rows, cols, expr), в которой параметры rows и cols являются целыми числами, включая 0, Параметр expr - выражение, значение которого используется в качестве значений добавляемых элементов строк и столбцов.Этими объектами можно представлять не только векторы на плоскости и в пространстве, но и точки этих пространств. Вектор, перпендикулярный прямой, проходящей через центр квадрата и перпендикулярный заданной его стороне, определяется через уравнение этой стороны. Вектор [1,3] перпендикулярен стороне квадрата, а значит вектор [3,-1] перпендикулярен нашей искомой прямой: > перпендикулярный_вектор1:=vector(2,[1,3]); Тогда уравнение прямой, перпендикулярной к стороне квадрата, определяется следующим образом: > line:=dotprod((point_line-centre_point),перпендикулярный_вектор)=0; При вычислении вершин квадрата нам пришлось использовать единичный направляющий вектор прямой linel1, построенный из вектора перпендикулярный_вектор (он параллелен стороне квадрата) делением его координат на модуль этого вектора, который вычисляется как расстояние от точки, представленной координатами вектора, до начала координат (zero).Опции не обязательны, однако, для изменения свойств графика нужно задавать опции. В качестве параметра "цвет" могут быть: black-черный, blue - голубой, brown - коричневый, green - зеленый, red - красный, yellow - желтый и т.д. scaling=CONSTRAINED - задает одинаковый масштаб по осям x и y. В качестве параметра "тип линии" могут быть: LINE - рисование непрерывной линией, POINT - рисование точками. symbol="тип точки" задает тип точки при рисовании точками (т.е. когда задана опция style=POINT). Параметром "тип точки" могут быть: BOX - рисование квадратиками, CROSS - рисование крестиками, CIRCLE - рисование кружочками, POINT - рисование точками, DIAMOND - рисование ромбиками. thicrness=n задает толщину непрерывной линии (n = 1..15). Для построения графика этой функции нужно задать команду plot([g(t), h(t), t=a..b], опции).> with(LINEARALGEBRA, имя_команды): Пакет LINEARALGEBRA реализован в виде модуля, новой языковой конструкции Maple, реализующей элементы объектно-ориентированного программирования. Зададим произвольную матрицу, без задания элементов какой либо строки и посмотрим на результат: > F:=matrix(3,3,[[1,2,3],[],[4,5,6]]); Данный пример показывает возможность задания матриц в виде элементов дроби, при этом в первой строке коэффициенты числителя не изменяются, а коэффициенты знаменателя возводятся в степень соответствующую номеру столбца. Приведем пример для размерности 3 на 3: > fun:=(i,j)->x^i/y^j:K:=matrix(3,3,fun); В следующем примере продемонстрируем возможность задания матриц

Содержание

Введение

1. Общие сведения о пакетах, помогающих решать задачи линейной алгебры

2. Пакет Linalg

3. Аналитическая геометрия на плоскости

4. Построение графиков функций

5. Пакет LINEARALGEBRA

6. Решение систем линейных уравнений (СЛУ)

Заключение

Список используемой литературы linalg плоскость линейный алгебра

Системы компьютерной алгебры (СКА) находят все более широкое применение во многих областях науки: таких как математика, физика, химия, информатика и т.д., техники, технологии, образовании и т.д. СКА типа Maple, Mathematica, MUPAD, Macsyma, Reduce, Axiom и Magma становятся все более популярными для решения задач преподавания математически ориентированных дисциплин, как в научных исследованиях, так и в промышленности. Данные системы являются мощными инструментами для ученых, инженеров и педагогов. Исследования на основе СКА-технологии, как правило, сочетают алгебраические методы с продвинутыми вычислительными методами. В этом смысле СКА - междисциплинарная область между математикой и информатикой, в которой исследования сосредотачиваются как на разработке алгоритмов для символьных (алгебраических) вычислений и обработки на компьютерах, так и на создании языков программирования и программной среды для реализации подобных алгоритмов и базирующихся на них проблем различного назначения.

Исследователи используют пакет Maple как важный инструмент при решении задач, связанных с их исследованиями. Пакет идеален (по нынешним понятиям) для формулировки, решения и исследований различных математических моделей. Его алгебраические средства существенно расширяют диапазон проблем, которые могут быть решены на качественном уровне. Педагоги в средних школах, колледжах и университетах обновляют традиционные учебные планы, вводя задачи и упражнения, которые используют диалоговую математику и физику Maple. Тогда как студенты могут сконцентрироваться на важных концепциях, а не на утомительных алгебраических вычислениях и преобразованиях. Наконец, инженеры и специалисты в промышленности используют Maple как эффективный инструмент, заменяющий много традиционных ресурсов типа справочников, калькуляторов, редакторов, крупноформатных таблиц и языков программирования. Эти пользователи легко решают весьма широкий диапазон математически ориентированных задач, разрабатывая проекты и объединяя результаты (как числовые, так и графические) их вычислений в профессиональные отчеты довольно высокого качества.

Наконец, Maple имеет по ряду показателей более развитые инструментальные средства (например, для решения дифференциальных уравнений в частных производных, предоставления используемого алгоритма решения задачи, настройки графического интерфейса пользователя на конкретные приложения и др.), а также весьма широкий спектр бесплатных приложений во многих фундаментальных и прикладных областях современного естествознания. Пакет Maple воплощает новейшую технологию символьных вычислений, числовых вычислений с произвольной точностью, наличие инновационных Web-компонент, расширяемой технологии пользовательского интерфейса (Maplets), и весьма развитых математических алгоритмов для решения сложных математических задач.

1. Общие сведения о пакетах, помогающих решать задачи линейной алгебры

Небольшая часть команд для решения задач линейной алгебры содержится в стандартной библиотеке и пакете Student, большая же часть находится в пакетах Linalg и LINEARALGEBRA.

В состав предыдущих версий Maple входил только пакет Linalg, который состоит более чем из сотни команд, реализующих основные операции линейной алгебры. Несмотря на эффективность реализованных в нем алгоритмов, этот пакет обладает несколькими недостатками: для выполнения матричных операций нужно использовать или команду evalm, или специальные команды, а самое главное - ограниченные возможности работы с числовыми матрицами большого порядка. В пакете LINEARALGEBRA эти недостатки были удалены.

В состав предыдущих версий Maple входил только пакет Linalg, который состоит более чем из сотни команд, реализующих основные операции линейной алгебры. Несмотря на эффективность реализованных в нем алгоритмов, этот пакет обладает несколькими недостатками: для выполнения матричных операций нужно использовать или команду evalm, или специальные команды, а самое главное - ограниченные возможности работы с числовыми матрицами большого порядка. В пакете LINEARALGEBRA эти недостатки были удалены.

Возможности пакетов во многом перекрываются, хотя можно сказать, что пакет Linalg удобен для проведения выкладок линейной алгебры в символьном виде, а LINEARALGEBRA - для вычислений. Однако в каждом из пакетов существуют возможности, не имеющие аналогов в другом пакете.

Как уже было сказано, основными объектами, с которыми работают команды этих пакетов, являются матрицы, однако, следует отметить, что матрицы одного пакета не эквивалентны матрицам другого. В пакете Linalg используются матрицы, построенные на основе массива, создаваемого командой array ( ), тогда как в пакете LINEARALGEBRA применяются векторы и матрицы, построенные на основе новой структуры r - таблицы (r - table) и создаваемые специальными конструкторами Vector ( ) и Matrix ( ) или с использованием краткой нотации . Матрицы в пакете Linalg вычисляются только до уровня своих имен, поэтому в нем невозможно вычислить операции поэлементного суммирования или вычитания, используя простые операции над идентификаторами матриц, поэтому нам и приходится пользоваться командой evalm ( ). В пакете LINEARALGEBRA матрицы вычисляются до уровня своих элементов, поэтому простое задание имени матрицы в области ввода рабочего листа приводит к отображению ее элементов, а не имени матрицы, как в случае с пакетом Linalg. Кроме того, в пакете LINEARALGEBRA матрицы могут задаваться в качестве операндов сложения и вычитания, что приводит к поэлементному выполнению указанных операций без использования дополнительных синтаксических конструкций. Итак: Модуль Linalg полезен при выполнении абстрактных вычислений над матрицами и векторами.

Модуль LINEARALGEBRA обладает более дружественным интерфейсом, работает с числовыми матрицами и особенно эффективен при работе с числовыми матрицами больших размеров изза возможности обращения к откомпилированным программам пакета численных расчетов NAG.

Рассмотрим более подробно эти модули.