Равномерное стремление к предельной функции. Дифференцирование под знаком интеграла. Случай, когда пределы интеграла зависят от параметра. Применение правила Лейбница к вычислению производной по параметру интеграла. Исследование функции на непрерывность.
Аннотация к работе
Математический анализ - общеобразовательная математическая дисциплина, объектом изучения которой является большая часть математики, связанная с понятиями функции, производной и интеграла. Неформально говоря, (определенный) интеграл является площадью части графика функции (в пределах интегрирования), то есть площадью криволинейной трапеции. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.Рассмотрим функцию f(x,y) двух переменных, определенную для всех значений х в некотором промежутке [a,b] и всех значений у в множестве ?={у}.Пусть функция f(x,y) определена, в общем случае, в двумерном множестве М=Х? ?, где Х и ? означают множества значений, принимаемых порознь х и у, причем ? имеет своей точкой сгущения конечное число . Если 1) для функции f(x,y) при у> существует конечная предельная функция (х) (2) и 2) для любого числа ? > 0 найдется такое не зависящее от х число ? > 0, что при |у - | <? будет | f(x,y)-?(х)| <? (3) сразу для всех х из Х, то говорят, что функция f(x,y) стремится к предельной функции ?(х) равномерно относительно х в области Х. 1? Для того чтобы функция f(x,y) при у> имела предельную функцию и стремилась к ней равномерно относительно х в области Х, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа ? > 0 существовало такое не зависящее от х ? > 0, что неравенство 2? Для того чтобы функция f(x,y) при у> стремилась к функции ?(х) равномерно (относительно х в области Х), необходимо и достаточно, чтобы к ?(х) равномерно сходилась каждая последовательность {f(x, )}, по какому бы закону варианта (со значением из ?) ни стремилась к .Обратимся к рассмотрению интеграла (1), зависящего от параметра у, ограничиваясь в начале случаем конечного промежутка [a,b] и функции, интегрируемой в собственном смысле. Предполагая, что область ? изменения параметра имеет точку сгущения , поставим вопрос пределе функции (1) при у> . Если функция f(x,y) при постоянном у интегрируема по х в [a,b) и при у> стремится к предельной функции (2) равномерно относительно х, то имеет место равенство Задавшись произвольным числом ? > 0, найдем такое ?>0, чтобы имело место (3). Если функция при постоянном у непрерывна по х в [a,b] и при возрастании у стремится к непрерывной же предельной функции, монотонно возрастая, то справедлива формула (9) .При изучении свойств функции (1), которая задана интегралом, содержащим параметр у, важное значение имеет вопрос с производной этой функции по параметру. В предложении существования частной производной Лейбниц дал для вычисления производной I?(y) правило, которое в обозначениях Лагранжа записывается так: I?(y)= , (10) или - если воспользоваться более выразительными обозначениями Коши - Если такая перестановка знаков производной (по у) и интеграла (по х) допустима, то говорят, что функция (1) можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла. Пусть функция , определенная в прямоугольнике [a,b;c,d], будет непрерывна по х в [a,b] при любом постоянном у в [c,d]. Предположим далее, что во всей области существует частная производная , непрерывная как функция двух переменных.Поставим вопрос об интеграле по у от функции (1) в промежутке [c,d]. Рассмотрим случай, когда интеграл выразится формулой Если функция непрерывна (по обоим переменным) в прямоугольнике [a,b;c,d], то имеет место формула (13). В левой и в правой его частях мы имеем две функции от параметра ??; вычислим их производные по ??. Поэтому его производная по переменному верхнему пределу будет равна подынтегральной функции, вычисленной при у=??, то есть интегралуПерейдем здесь к пределу при а> ?; так как | |?| |, то интеграл стремится к нулю, и находим : С=-?? . № 2 Найти производную по параметру ?? интеграла Мы прибегнем к обходному пути, подстановкой х=??t преобразуем интеграл к виду: I(??) = ; Найдем, дифференцируя интеграл по правилу Лейбница: I?(??) = , или, если вернуться к прежней переменной, I?(??) = . Преобразовав первый из этих интегралов путем интегрирования по частям, можно придать формуле более простой вид: I?(??) = .Цель данной курсовой работы была - изучить интегралы, зависящие от параметра и разобрать примеры на данную тему.
План
Оглавление
Введение
1. Интегралы зависящие от параметра
1.1 Постановка задачи
1.2 Равномерное стремление к предельной функции
1.3 Предельный переход под знаком интеграла
1.4 Дифференцирование под знаком интеграла
1.5 Интегрирование под знаком интеграла
1.6 Случай, когда пределы интеграла зависят от параметра
2. Практическая часть
Заключение
Список литературы функция дифференцирование интеграл производная
Введение
Математический анализ - общеобразовательная математическая дисциплина, объектом изучения которой является большая часть математики, связанная с понятиями функции, производной и интеграла.
Интеграл функции - аналог суммы последовательности. Неформально говоря, (определенный) интеграл является площадью части графика функции (в пределах интегрирования), то есть площадью криволинейной трапеции.
Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.
Согласно основной теореме анализа, интегрирование является операцией, обратной дифференцированию, чем помогает решать дифференциальные уравнения.
Изучения свойств функции, выраженной интегралом, зависящим от параметра, может представлять самостоятельный интерес. Но помимо того эти свойства имеют и многообразные применения, в особенности к вопросу о вычислении несобственных интегралов.
Цель данной курсовой работы - изучить интегралы, зависящие от параметра и разобрать примеры.
Задачи: - сформулировать основную теорию;
- рассмотреть решения некоторых примеров.
Вывод
Цель данной курсовой работы была - изучить интегралы, зависящие от параметра и разобрать примеры на данную тему.
В соответствии с поставленной целью в ходе работы были выполнены следующие задачи: - сформулирована основная теория, связанная с интегралами, зависящими от параметра;
- рассмотрены решения некоторых примеров.
Список литературы
1. Фихтенгольц Г.М., "Курс дифференциального и интегрального исчисления" том 2, 2006.
2. Б.П. Демидович, "Сборник задач и упражнений по математическому анализу", 1977.