Изложение интегральных характеристик полей: дивергенция и ротор, их физический смысл; криволинейные и поверхностные интегралы, их вычисление; поток и дивергенция векторного поля; циркуляция и ротор векторного поля; теоремы Гаусса-Остроградского и Стокса.
Аннотация к работе
В первой главе мы ввели дифференциальные характеристики полей: градиент, дивергенцию, ротор.Криволинейным интегралом первого рода называется предел интегральной суммы Криволинейные интегралы первого рода часто называют интегралами по длине. Выясним физический смысл криволинейного интеграла первого рода. Если - линейная плотность вещества (масса единицы длины), то криволинейный интеграл по кривой АВ позволяет определить массу кривой АВ. Вычислить криволинейный интеграл вдоль параболы от точки А(0,0) до точки В(2,4).Пусть в пространстве задана поверхность S, которая описывается уравнением . Разобьем поверхность на маленькие элементы площадью , внутри каждого элемента выберем точку . Поверхностные интегралы первого рода часто называют интегралами по поверхности. Если поверхность задана уравнением , то элемент поверхности определяется формулой и вычисление поверхностного интеграла первого рода сводится к вычислению двойного интеграла Если функция задает поверхностную плотность электрического заряда на поверхности S, то поверхностный интеграл первого рода позволяет определить суммарный заряд поверхности S.Введем вектор , т.е. будем рассматривать площадь как вектор. Потоком постоянного вектора F через площадку S называется величина Нетрудно показать, что если в качестве вектора F выбрать скорость движения жидкости, то поток определяет количество жидкости, протекающей через площадку S за единицу времени. Потоком вектора F через поверхность S называется величина Если функция F задает поле скоростей, то поток определяет количество жидкости, протекающей через заданную поверхность в единицу времени.Рассмотрим векторное поле , заданное в трехмерном пространстве и выделим в этом пространстве некоторую замкнутую кривую. Циркуляцией векторного поля называется криволинейный интеграл второго рода по замкнутой кривой Пусть стационарное вращательное движение жидкости вокруг оси Ох задано вектором угловой скорости . Рассмотрим в пространстве, заполненном вращающейся жидкостью, векторное поле линейной скорости жидкости. Введем еще одну величину, описывающую вращательные свойства векторного поля.Рассмотрим несколько теорем, связывающих криволинейные, поверхностные и тройные интегралы. Поток векторного поля через поверхность S, ограничивающую область V, равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля Для соседних элементов потоки взаимно сокращаются После сложения останутся только потоки через внешнюю, ограничивающую тело поверхность. Покажем, что правая часть записанной формулы определяет электрический заряд, заключенный в объеме, ограниченном заданной поверхностью.Важную роль в различных физических приложениях играет теорема Стокса, которая связывает циркуляцию вектора по замкнутому контуру с потоком ротора этого векторного поля по некоторой поверхности. Натянем на этот контур некоторую поверхность, которую будем считать достаточно гладкой. Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру L равна потоку ротора этого поля по поверхности, натянутой на этот контур Из рисунка видно, что интегралы по границе между контурами взаимно сокращаются. При этом выбор поверхности S не играет роли, важно лишь, чтобы эта поверхность опиралась на контур L.
План
Интегральные характеристики векторных полей
Москва 2013
Содержание
1. Криволинейные интегралы и их вычисление
2. Поверхностные интегралы и их вычисление
3. Поток векторного поля
4. Циркуляция и ротор векторного поля
5. Теорема Гаусса-Остроградского
6. Теорема Стокса
7. Вопросы и задачи
Список использованной литературы и источников
Введение
В первой главе мы ввели дифференциальные характеристики полей: градиент, дивергенцию, ротор. В этой главе рассмотрим интегральные характеристики полей и выясним физический смысл дивергенции и ротора. Введем эти понятия безотносительно к системе координат, а также сформулируем ряд теорем, которые широко используются в приложениях. В первую очередь, это теоремы Гаусса-Остроградского и Стокса. Кратко напомним также методы вычисления криволинейных и поверхностных интегралов. криволинейные стокс дивергенция интегральные
Список литературы
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, М.: МГУ, 1999, 798 с.
2. Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Жевержев В.Ф. Специальный курс высшей математики для втузов, М.: «Высшая школа», 1976, 390 с.
3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа, М.: Наука, 1985, 384 с.
5. Все решения к «Сборнику задач по общему курсу физики» В.С. Волькенштейн, М.: Аст, 1999, книга 1, 430 с., книга 2, 588 с.
6. Красильников О.М. Физика. Методическое руководство по обработке результатов наблюдений. М.: МИСИС, 2002, 29 с.
7. Супрун И.Т., Абрамова С.С. Физика. Методические указания по выполнению лабораторных работ, Электросталь: ЭПИ МИСИС, 2004, 54 с.