Определение и характерные свойства интеграла, история развития соответствующего исчисления. Криволинейная трапеция, методика ее построения и анализа. Свойства определенного интеграла, направления его применения. Исследование набора стандартных картинок.
Аннотация к работе
Хотя интеграл изучают, в основном, ученые-математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Поэтому, я и решила исследовать интеграл и его применение в физике. интеграл криволинейный трапеция Поэтому довольно актуальным становится обучение математике (в частности изучение темы «Интеграл») через прикладные задачи физики. Основные цели данной работы - изучить различные подходы к введению понятия интеграла, изучению его свойств и приложений, определить достоинства и недостатки этих подходов, разработать методику изучения интеграла с использованием физических моделей, проанализировать и сделать выводы о правильности и целесообразности разработанной методики. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.Интеграл, который мы рассмотрели в данной работе, был введен Стилтьесом. Новое понятие ему было нужно, как мы уже говорили в первой главе, в разрабатывавшейся им теории цепных дробей; он ввел его и применил в интересовавших его вопросах. Вороной, Рисс, Гильберт, Хеллингер, причем каждый из них пришел к понятию интеграла Стилтьеса, отправляясь от разных задач. Юнг использовал интеграл Стилтьеса в теории тригонометрических рядов, Радон применял также в теории линейных функционалов, в теории интегральных уравнений. Очень велико число работ, посвященных изучению различных свойств интеграла Стилтьеса.
Вывод
Интеграл, который мы рассмотрели в данной работе, был введен Стилтьесом. Новое понятие ему было нужно, как мы уже говорили в первой главе, в разрабатывавшейся им теории цепных дробей; он ввел его и применил в интересовавших его вопросах. Разработка же выпала на доли других математиков, таких, как Кениг, А.А. Марков, А.М. Ляпунов, Г.Ф. Вороной, Рисс, Гильберт, Хеллингер, причем каждый из них пришел к понятию интеграла Стилтьеса, отправляясь от разных задач. В теории цепных дробей применяли его сам Стилтьес и А.А. Марков, в теории R-интеграла - Кениг, в теории чисел - Г.Ф. Вороной, в небесной механике - А.М. Ляпунов, в теории интегральных уравнений - Гильберт, Хеллингер, в теории линейных функционалов - Рисс. В дальнейшем разработкой интеграла занимались также У.Г. Юнг и Радон. Юнг использовал интеграл Стилтьеса в теории тригонометрических рядов, Радон применял также в теории линейных функционалов, в теории интегральных уравнений.
Очень велико число работ, посвященных изучению различных свойств интеграла Стилтьеса. Это работы Хелли, Брэй, Гильдебрандт, Р. Юнг, Г.М. Шварц, Яджи и др.
Совершенно необозримо поле приложений различных типов интеграла Стилтьеса. Разумеется, та исходная проблема, из которой родилось само понятие интеграла Стилтьеса, - проблема моментов, - не перестала быть связанной с этим понятием. После работ Стилтьеса, Маркова, Юнга и других ученых, о которых сказано выше, поток применений интеграла Стилтьеса вырос в трудно обозримый комплекс. Многие разделы математики невозможно представить без использования интеграла Стилтьеса.
Идея стилтьесовского интегрирования использовалась и продолжает использоваться при изучении различных вопросов математики, физики, квантовой механики. Поэтому данная работа может быть использована в качестве пособия для студентов физико-математичсеких факультетов.
Список литературы
М.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд, «Алгебра и математический анализ», Москва, 1993 г.
«Сборник задач по математическому анализу», Москва, 1996 г.
И.В. Савельев, «Курс общей физики», том 1, Москва, 1982 г.
Гохман Э.Х. Интеграл Стилтьеса и его приложения. Государственное издательство физ. - мат. литературы, М., 1958
Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. - М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002. - 160 с.
Камке Э. Интеграл Лебега-Стилтьеса. Перевод с немецкого Г.П. Сафроновой. Под ред. И.П. Натансона. - М.: Государственное издательство физ. - мат. литературы, 1959 г.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа: Учебник для вузов. - 6-е изд., испр. - М.: Наука, Главная редакция физ. - мат. Литературы, 1989. - 624 с.
Леонтьева Т.А. и др. Задачи по теории функций действительного переменного: Учеб. Пособие по спец. «Математика»/ Панферов В.С., Серов В.С. - М.: Изд-во МГУ, 1997 - 208 с.
Макаров И.П. Теория функций действительной переменной. Под ред. И.Я. Верченко - М.: Государственное издательство «Высшая школа» - 1965
Медведев Ф.А. Развитие понятия интеграла. - М., «Наука», 1974 г.
Песин И.Н. Развитие понятия интеграла, М., «Наука», 1966. - 207 с.
Самородницкий А.А. Теория меры/ Сыктывкар. Гос. Университет. - Л.: Издательство ЛГУ, 1990. - 267 с.
Теория функций вещественной переменной. И.П. Натансон. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974
Теория функций и функциональный анализ: [Сборник статей/ Науч. ред. проф. Б.М. Гагаев]. - Казань: Издательство Казанского университета, 1976 г. - 98 с.
Тимофеев А.Ф. Интегрирование функций. М. - Л. Издательство технико-теоретической литературы, 1948
Толстов Г.П. Мера и интеграл. Главная редакция физ. - мат. Литературы, «Наука», 1976 г.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В трех томах. Том III/ - СПБ.: Издательство Лань, 1997. - 672 с.