Понятие интеграла Стилтьеса. Общие условия существования интеграла Стилтьеса, классы случаев его существования и предельный переход под его знаком. Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана. Применение в теории вероятностей и квантовой механике.
Аннотация к работе
Глава I. Развитие понятия интеграла 1.1 Проблема моментов Глава II. Интеграл Стилтьеса 2.1 Определение интеграла Стилтьеса 2.2 Общие условия существования интеграла Стилтьеса 2.3 Классы случаев существования интеграла Стилтьеса 2.4 Свойства интеграла Стилтьеса 2.5 Интегрирование по частям 2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана 2.7 Вычисление интегралов Стилтьеса 2.8 Примеры 2.10 Теорема о среднем, оценки 2.11 Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса 2.12. Применение интеграла Стилтьеса 3.1 Применение в теории вероятностей 3.2 Применение в квантовой механике Заключение Список литературы Приложение Введение Понятие интеграла Римана, известное из элементарного курса анализа, применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны или имеют не слишком много точек разрыва. С таким положением вещей и столкнулся Стилтьес при изучении непрерывных дробей, и именно в результате этих исследований он предложил своё обобщение интеграла. Первый относится к задаче о степени приближения, даваемого квадратурной формулой Гаусса: Здесь Стилтьес пользуется доказанными им формулами П.Л. Чебышева в виде где . Доказательство этого факта опирается на то, что функция (5) является непрерывной и строго монотонной, а потому существует обратная функция , и в интеграле (4) возможна замена переменных сводящих интеграл (4) к уже изученному Стилтьесом случаю. В самом деле, Стилтьесу была известна чебышевско-марковская интерпретация , как массы, сосредоточенной в точке , являющейся корнем . Цепные дроби рассматривающегося П.Л. Чебышевым и А.А. Марковым типа получились из разложения интеграла (7) и все корни знаменателей их подходящих дробей были заключены в промежутке .