Сущность теории групп. Роль этого понятия в математике. Мультипликативная форма записи операций, примеры групп. Формулировка сущности подгруппы. Гомоморфизмы групп. Полная и специальная линейная группы матриц. Классические группы малых размерностей.
Аннотация к работе
Группы 1.1 Понятие группы и примеры Одним из частных случаев алгебр являются группы, которые играют большую роль в математике и ее приложениях. Алгебра G = (G, *, ’ ) типа (2,1) называется группой, если ее главные операции удовлетворяют условиям (аксиомам): (1) бинарная операция ассоциативна, т. е. для любых элементов a, b, c из G a (b*c) = (a*b)*c ; (2) в G имеется правый нейтральный элемент относительно операции *, то есть такой элемент е, что a * e = a для всякого элемента а из G; (3) для любого элемента а из G a * a’ = e. Таким образом, группа - это непустое множество с двумя операциями на нем - бинарной операцией * и унарной операцией ’, причем бинарная операция ассоциативна и обладает правым нейтральным элементом, а унарная операция есть операция перехода к правому симметричному элементу относительно бинарной операции и, значит, каждый элемент группы имеет правый симметричный ему элемент относительно бинарной операции группы *. Понятие натуральной степени an элемента a мультипликативной группы (G, ,-1 ) определяется следующим образом: a 0 = e, a n = a a … a для n N\{0}. Пусть Q - множество всех рациональных чисел с обычным сложением н унарной операцией - операцией перехода от числа a к противоположному числу (-a). Эта группа называется мультипликативной группой рациональных чисел. 3.Пусть R -множество всех действительных чисел с обычным сложением и унарной операцией -, ставящей в соответствие каждому действительному числу r противоположное чисел - r. Алгебра H =(H, , -1 ) типа (2, 1) называется подгруппой группы G = (G, ,-1), если H G и тождественное отображение множества H в G является мономорфизмом алгебры H в G то есть выполняются условия: 1) a b = a b для любых a, b из H; 2) a-1 = a-1 для любого a из H.