Розв’язання задачі групової класифікації для квазілінійних рівнянь гіперболічного типу найбільш загального вигляду у двовимірному просторі–часі, симетрійна редукція. Побудова математичних моделей з заданою симетрією і знаходження їх точних розв’язків.
Аннотация к работе
Дослідження таких обєктів, уведених С.Лі в розгляд у звязку із здійсненням ним спроби побудови загальної теорії інтегрування диференціальних рівнянь, привели до створення апарату груп і Алгебр Лі, які широко використовуються в різноманітних областях математики. Серед фундаментальних рівнянь математичної фізики важливе місце посідають диференціальні рівняння з частинними похідними другого порядку гіперболічного типу. Такі рівняння зустрічаються в задачах хвильової й газової динаміки, хімічної технології й хроматографії, в різних областях фізики (надпровідність, дислокації в кристалах, хвилі в феромагнетичних матеріалах, лазерні імпульси в двофазовому середовищі тощо), в диференціальній геометрії. Зокрема, показано, що найбільш широка симетрія таких рівнянь визначається пятивимірними алгебрами Лі і знайдено всі нееквівалентні класи рівнянь з такою симетрією. Групу інваріантності рівняння (2) генерує інфінітезимальний оператор: де дійсні сталі , , та функції , , , задовольняють систему двох рівностей: Групу еквівалентності рівняння (2) складають такі невироджені перетворення: (5) де , , , , , - довільні гладкі функції своїх аргументів.Проведено повну групову класифікацію квазілінійних рівнянь гіперболічного типу, лінійних відносно . Показано, що такі рівняння можуть допускати лише розвязні алгебри інваріантності. Зокрема, показано, що найбільш широка симетрія таких рівнянь визначається пятивимірними алгебрами Лі, і знайдено всі нееквівалентні класи рівнянь з такою симетрією. Здійснено повну групову класифікацію загального квазілінійного рівняння гіперболічного типу. З використанням знайдених симетрій проведено редукцію та побудовані класи точних розвязків квазілінійних рівнянь гіперболічного типу.
Вывод
1. Проведено повну групову класифікацію квазілінійних рівнянь гіперболічного типу, лінійних відносно . Доведено, що найширшу симетрію серед розглянутих рівнянь має рівняння Ліувілля, яке інваріантне відносно нескінченно параметричної групи локальних перетворень.
2. Доведено теорему про структуру допустимих алгебр інваріантності квазілінійних гіперболічних рівнянь, нелінійних відносно . Показано, що такі рівняння можуть допускати лише розвязні алгебри інваріантності.
3. Проведено повну групову класифікацію квазілінійних гіперболічних рівнянь, нелінійних відносно . Зокрема, показано, що найбільш широка симетрія таких рівнянь визначається пятивимірними алгебрами Лі, і знайдено всі нееквівалентні класи рівнянь з такою симетрією.
4. Здійснено повну групову класифікацію загального квазілінійного рівняння гіперболічного типу.
5. З використанням знайдених симетрій проведено редукцію та побудовані класи точних розвязків квазілінійних рівнянь гіперболічного типу.
Основні результати дисертації опубліковано в таких роботах
1. Лагно В.И., Магда Е.В. Групповая классификация одного класса // Вісник Харківського національного університету. Серія “Математика, прикладна математика і механіка”.-2003.- № 582.- С.179-191.
2. Лагно В., Магда О., Жданов Р. Про інваріантність квазілінійних рівнянь гіперболічного типу відносно тривимірних алгебр Лі// Праці Інституту математики НАН України: Групові та аналітичні методи в математичній фізиці. - 2001. -. - C.136-158.
3. Магда О.В. Тривимірні алгебри Лі квазілінійних рівнянь гіперболічного типу // Наукові вісті Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут”. - 2003. - № 2(28). - С.151-156.
4. Магда О.В. Чотиривимірні алгебри Лі та точні розвязки квазілінійних рівнянь гіперболічного типу // Вісник Київського університету. Серія: Фізико-математичні науки.- 2002.- №4. - С.89-101.
5. MAGDAO. Invariance of quasilinear equations of hyperbolic type with respect to three-dimensional Lie algebras // Proceeding of Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine: Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics. - 2002. -, Part1. - P.167-170.
6. MAGDAO. The group classification of nonlinear wave equations invariant under two-dimensional Lie algebras// Proceeding of Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine:/ Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics. - 2000. -, Part1. - P.165-169.
7. Magda O. Group classification of one class of quasilinear hyperbolic-type differential equations // Материалы Междунар. науч. конф./ Обратные задачи и нелинейные уравнения, Харьков, 12-16августа. 2002 г. - Харьков, 2002. - C.58-59.