Скінченне розширення підгрупи, комутант якої міститься у її центрі. Конструктивний опис ненільпотентних об’єктів дослідження та нільпотентних об’єктів дослідження при умові, що їх фактори по комутантах є прямими добутками локально циклічних груп.
Аннотация к работе
Актуальність теми Групи зі скінченними комутантами природно виникають при переході від вивчення абелевих груп до близьких з ними неабелевих груп. Шура (1904 р.) Велику роль для розвитку теорії груп зі скінченними комутантами мали роботи Р. Неймана, у яких вивчались нові цікаві класи груп, що приводили до груп зі скінченними комутантами. Очевидно, якщо група має скінченний комутант, то вона буде скінченним розширенням підгрупи, комутант якої міститься у центрі. У свою чергу, вивчення таких груп зводиться до вивчення груп з циклічним комутантом (що міститься у центрі), і як перший етап такого вивчення виникають групи з центральним комутантом простого порядку.Нехай комутант G" групи G є елементарною абелевою підгрупою порядку рм, р - просте число, т > 0, {1 = Z4 ? В підрозділі 2.2 “Дещо про комутанти” встановлюються властивості комутантів груп при певних обмеженнях на них, а також вказуються деякі властивості групи Н, при яких вона не може бути комутантом жодної групи G. В підрозділі 3.1 “Групи з комутантом типу (р, р)” описуються ненільпотентні групи з назви підрозділу (теорема 3.1.3) і конструктивно описуються нільпотентні групи G з комутантом G" типу (р, р), у яких G/G" - прямий добуток локально циклічних груп (теорема 3.1.2). Всі групи G з комутантом типу (р, р), у яких G/G" - прямий добуток локально циклічних груп, мають вигляд: G = С • D, де С ? D = G" = = Z(G), |f| = р • q, підгрупа , де Gi = ? Xi, Xi - примарна чи без скруту локально циклічна група, D/ - прямий добуток всіх Gi /, вичерпуються групами G таких типів, у яких С = С1 ? С2, де С1 - локально циклічна р-група, С2 - локально циклічна q-група чи група кватерніонів, р ?Обєктами дослідження дисертації є довільні, як скінченні так і нескінченні, групи G з комутантом порядку р, pq, pqr, де р, q, r - не обовязково різні прості числа. Вперше доведено, що в групі G з комутантом G" порядку р, для якої G/G"-прямий добуток локально циклічних груп, маємо: С ? Новими результатами є твердження, які встановлюють, що комутант G" досліджуваної групи G порядків р, pq, pqr може бути неабелевою групою лише коли G - ненільпотентна група і G" - група кватерніонів чи неабелева група порядку р3 експоненти р або G" - ненільпотентна група без центру порядку p2q з нормальною силовською р-підгрупою типу (р, р). Розвивається ідея опису груп, які не мають нетривіального розщіплення над своїм комутантом.
План
Основний зміст роботи
Вывод
Обєктами дослідження дисертації є довільні, як скінченні так і нескінченні, групи G з комутантом порядку р, pq, pqr, де р, q, r - не обовязково різні прості числа. Метою дослідження є знаходження будови груп такого роду у вигляді G = С • D, де С і D конструктивно задані підгрупи з G.
В дисертації встановлено, що в ненільпотентній групі G з примарним циклічним комутантом справедливо: С = G" = , |а| = р?, ? > 0, р > 2, С ? D = 1.
Вперше доведено, що в групі G з комутантом G" порядку р, для якої G/G" -прямий добуток локально циклічних груп, маємо: С ? D = G", C - локально циклічна група чи група кватерніонів, , Xi - примарна чи без скруту локально циклічна група, D/G" - прямий добуток всіх Gi/G". Одержаний розклад групи G можна вважати конструктивним описом досить широкого класу груп з комутантом порядку p.
Новими результатами є твердження, які встановлюють, що комутант G" досліджуваної групи G порядків р, pq, pqr може бути неабелевою групою лише коли G - ненільпотентна група і G" - група кватерніонів чи неабелева група порядку р3 експоненти р або G" - ненільпотентна група без центру порядку p2q з нормальною силовською р-підгрупою типу (р, р).
Розвивається ідея опису груп, які не мають нетривіального розщіплення над своїм комутантом.
В нільпотентній групі G з комутантом типу (р, р), для якого G/ G" - прямий добуток локально циклічних груп, маємо: підгрупа де Gi = G" ? Xi, Xi - примарна чи без скруту локально циклічна група, D/ G" - прямий добуток всіх Gi/G", G ? D = G", підгрупа C - повністю описана р-група одного з 5-ти типів, що не має власних доповнюваних в C підгруп, які містять G".
В згаданій групі G з циклічним комутантом порядку р2 , де Gi = G" ? Xi, Xi - примарна чи без скруту локально циклічна група, D/ G" - прямий добуток всіх Gi/G", G ? D = G", і C - цілком описана р-група одного з 8-ми типів, в якій немає власних доповнюваних підгруп, що містять G". В нільпотентній групі з комутантом порядку pq, p ? q, C є прямим добутком локально циклічної р-підгрупи і силовської q-підгрупи, що є локально циклічною групою чи групою кватерніонів.
Опис ненільпотентних груп з комутантом порядку pq зводиться до конструкції G = C?D, де С = G", |С| > 2, D - нільпотентна група, |D"| ? {1, q}, p i q - не обовязково різні прості числа. В конструктивному описі ненільпотентних груп з комутантом порядку pqr С = G", |D ? С | ? {1, q}, |D| ? {1, р, r, q, qr}, і D може бути ненільпотентною групою лише, коли |D"| = q, С - група типу (р, р), C?D" = G" - група без центру.
Опис нільпотентних груп G з комутантом G" порядку pqr здійснюється при умові, що G/G" - прямий добутко локально циклічних груп. В цьому описі де Gi = G" ? Xi, Xi - примарна чи без скруту локально циклічна група, D/ G" - прямий добуток всіх Gi/G", G ? D = G", С - черніковська група, що не має власних доповнюваних підгруп, які містять G".
Список литературы
Мазурок O.O. Про групи з елементарним абелевим комутантом порядку не більше ніж р2 // Класи груп з обмеженнями для підгруп. К.: Ін-т математики НАН України, 1997. С. 59-63.
Мазурок O.O. Класифікація груп з комутантом порядку pq // Класи груп з обмеженнями для підгруп. К.: Ін-т математики НАН України. 1997. С. 64-66.
Мазурок O.O. Нерозвязні групи з деякими обмеженнями для комутантів // Класи груп з обмеженнями для підгруп. К.: Ін-т математики НАН України, 1997. С. 113-119.
Мазурок O.O. Групи з елементарним абелевим комутантом порядку не більше ніж р2 // Укр. мат. журн. 1998. N4. С. 534-539.
Мазурок O.O. Групи з комутантом порядку р • q • r // Доп. НАН України. 1999. N2. С. 15-18.
Класифікація груп з деякими обмеженнями для комутантів порядку р • q // O.O. Мазурок; Ін-т математики НАН України. Київ, 1997. 48 с. Укр. -Деп. в ДНТБ України 21.04.97, N311-Ук97 // Анот. в РЖ “Депоновані наукові роботи”, N1, 1998.
Мазурок O.O. Нерозвязні групи з деякими обмеженнями для комутантів // Міжнародна алгебраїчна конференція, присвячена памяті професора Л.М. Глускіна. К.: Ін-т математики НАН України. 1997. С. 58-59.
Мазурок O.O. Розщіплюваність в групах з елементарним комутантом // Тези V Міжнародної наукової конференції ім. акад. М. Кравчука. -.: Віпол, 1996. С. 267.
Мазурок O.O. Ненільпотентні групи з комутантом порядку р • q • r // Друга міжнародна алгебраїчна конференція в Україні, присвячена памяті професора Л.А. Калужніна. Вінниця: Вінницький державний педагогічний університет імені Михайла Коцюбинського. 1999. С. 93.