Дослiдження груп, близьких до нерозкладних. Модульно-кiльцевий пiдхiд до вивчення HM-груп i побудови їх прикладів. Отримання критерiїв нiльпотентностi i гiперцентральностi розширень. Умови мiнiмальностi i максимальностi для систем ненiльпотентних пiдгруп.
Аннотация к работе
В теорії груп прикладом такого підходу є факторизаційний напрямок, в якому на даний час, з одного боку, значну кількість робіт присвячено дослідженню груп, розкладних в добуток деяких своїх власнихпідгруп, тобто груп, що володіють власною факторизацією. Філліпса, зокрема, випливає, що локально скінченна мінімальна не FC-група є р-групою. Все вищесказане ще раз підтверджує, що мінімальні не X-групи тісно переплітаються з групами, які задовольняють Max-i Min-. З одного боку, при дослідженні таких груп часто виникають HM*-групи (i, зокрема, нерозкладні групи з нільпотентним комутантом). При цьому виникає необхідність досліджувати HM*-групи i, зокрема, нерозкладні групи i групи без власної факторизації; розглядати групи Фробеніуса, асоційовані з асоціативними кільцями i модулями над ними; розробити модульно-кільцевий підхід до дослідження HM*-груп i побудови їх прикладів; отримати критерії відповідно нільпотентності i гіперцентральності всіх розширень абельової групи з допомогою абельової групи операторів; вивчати розвязні групи відповідно з умовами мінімальності i максимальності для різних систем ненільпотентних підгруп.Менегаццо, ці групи складають достатньо великий клас груп, але на відміну від своїх "антиподів" - груп з власною факторизацією - майже не вивчені. При цьому вивчено найпростіші властивості HM*-груп; доведено, що нерозкладна розвязна група є р-групою для деякого простого числа p, i показано, що нерозкладна група з нільпотентним комутантом є мінімальною негіперцентральною групою. Прикладами HM*-груп також є недосконалі мінімальні не майже гіперцентральні групи; характеризація яких наведена в дисертації, що є природнім продовженням i розвитком досліджень, які проводили раніше В.С. По-друге, пошуки прикладів HM*-груп серед груп одиниць фактор-кілець певних кілець скручених многочленів привели до вивчення диференціально тривіальних i відповідно жорстких колець, в результаті чого в розділі 2: охарактеризовано диференціально тривіальні кільця без дільників нуля i жорсткі поля характеристики 0, алгебраїчні над своїми простими підполями; описано диференціально тривіальні i жорсткі кільця скінченного рангу, диференціально тривіальні праві спадкові кільця; вивчено диференціально тривіальні ліві нетерові кільця. Мінімальні не майже гіперцентральні групи - це приклади груп, які задовольняють умови мінімальності i максимальності для різних систем ненільпотентних підгруп, що досліджуються в розділі 5, в якому отримано характеризації розвязних груп з умовою мінімальності відповідно для ненільпотентних підгруп, для негіперцентральних підгруп, для не майже нільпотентних підгруп, для не майже гіперцентральних підгруп; періодичних локально нільпотентних груп з умовою максимальності для ненільпотентних (відповідно негіперцентральних) підгруп; а також розвязних груп з умовою мінімальності i відповідно максимальності для підгруп, які не є розширеннями нільпотентних груп за допомогою черніковських груп.
Вывод
В дисертаційній работі вивчаються нерозкладні i близькі до них групи. Як випливаї із конструктивно складних i вишуканих прикладів, побудованих Г. Хайнекеном, I. Мохамедом, Дж. Мелдрумом, Б. Хартлі, Б. Бруно, Р. Філліпсом, Ф. Менегаццо, ці групи складають достатньо великий клас груп, але на відміну від своїх "антиподів" - груп з власною факторизацією - майже не вивчені. Саме розробці підходів до до-лідження таких груп i їх характеризаціям, а також деяким звязаним з ними теоретико-кільцевим задачам присвячена дана дисертація. В результаті досліджень, відповідаючи на запитання 1 із монографії Б. Амберга, С. Франчіозі i Ф. Джованні, встановлено, що недосконалі нерозкладні групи G завжди зліченні i не мають власної факторизації, а їх фактор-група G/G" квазіциклічна. Звідси, зокрема, випливає, що нерозкладна група з гіперцентральним комутантом є ЄНМ*-групою, долідженню яких i присвячено розділ 4. При цьому вивчено найпростіші властивості HM*-груп; доведено, що нерозкладна розвязна група є р-групою для деякого простого числа p, i показано, що нерозкладна група з нільпотентним комутантом є мінімальною негіперцентральною групою. Як наслідок, отримано характеризацію нерозкладних метабельових груп, що є відповіддю на запитання 7.5 із ``Коурівського зошиту". Прикладами HM*-груп також є недосконалі мінімальні не майже гіперцентральні групи; характеризація яких наведена в дисертації, що є природнім продовженням i розвитком досліджень, які проводили раніше В.С. Чарін, В.В. Беляєв, Б. Бруно i Р. Філліпс. Теорема 4.6.1 спонукала до подальшого вивчення розкладних HM*-груп,близьких до груп Чаріна. При цьому виникла необхідність, по-перше, дослідити звязок груп Фробеніуса з асоціативними кільцями i модулями над ними, i з цією метою в розділі 3: побудовано конструкцію групи S(M,G), яка дала змогу для правого R-модуля M i будь-якої неодиничної підгрупи G із групи одиниць U(R) примітивного справа кільця R, що сладаїться із інваріантних справа елементів, отримувати групу Фробеніуса в тому випадку, коли M простий i точний; розглянуто пари Фробеніуса над асоціативними областями; запропоновано конструкцію групи H(I,T), асоційованої з лівим R- модулем M над асоціативним кільцем R, яка розширює відому конструкцію Я.П. Сисака; i встановлено, коли H(I,T), де I - ненульовий підмодуль із M i T - неодинична підгрупа приїднаної групи R° кільця R, є групою Фробеніуса, що активно застосовуїться в підрозділі 4.5 i дозволило також отримати ряд цікавих результатів про радикальні (в розумінні Джекобсона) кільця. По-друге, пошуки прикладів HM*-груп серед груп одиниць фактор-кілець певних кілець скручених многочленів привели до вивчення диференціально тривіальних i відповідно жорстких колець, в результаті чого в розділі 2: охарактеризовано диференціально тривіальні кільця без дільників нуля i жорсткі поля характеристики 0, алгебраїчні над своїми простими підполями; описано диференціально тривіальні i жорсткі кільця скінченного рангу, диференціально тривіальні праві спадкові кільця; вивчено диференціально тривіальні ліві нетерові кільця. Крім того, дослідження груп одиниць U(R) асоціативних кілець Rtak и інакше спонукаї до розгляду адитивних груп R , що заодно привело автора до розгляду i розвязання двох старих задач Ф. Саса в підрозділі 2.5. Групи Фробеніуса зустрічаються i серед груп, насичених власними факторизаціями, що підтверджується твердженням 4.1.7, в якому розглянуто скінченні метабельові групи с абельовими силовськими підрупами i доповнювальними неабельовими нормальними підгрупами. В цьому ж підрозділі 4.1 із застосуванням класифікації скінченних простих груп отримано аналог Z*-теореми Глаубермана для непарних простих чисел, що є відповіддю на відоме запитання Дж. Глаубермана. Дослідження груп, близьких до нерозкладних, приводять до пошукукритеріїв відповідно нільпотентності, гіперцентральності i енгелевості всіх розширень G абельової групи A за допомогою абельової групи B. В цьому напрямку часткові відповіді на запитання 2.77 Д.А. Супруненка із "Коурівського зошиту" отримали Г. Баумслаг, Дж. Баклі i Дж. Вайголд. Необхідню i достатню умову для нільпотентності знайшов А.В. Ягжев; а необхідні i достатні умови для гіперцентральності i відповідно енгелевості встановлено в дисертації. Зазначимо, оскільки на практиці в багатьох застосуваннях A i B - це, як правило, підгрупи одніїї більшої групи G, де АС G i G/A@B (тобто A - B-модуль), то в дисертаційній работі більш детально розглянуто розширення абельової групи A за допомогою абельової групи операторів B i знайдено критерії відповідно нільпотентності, гіперцентральності i енгелевості таких розширень, що також дає відповідь на запитання 2.77 із ``Коурівського зошиту". Мінімальні не майже гіперцентральні групи - це приклади груп, які задовольняють умови мінімальності i максимальності для різних систем ненільпотентних підгруп, що досліджуються в розділі 5, в якому отримано характеризації розвязних груп з умовою мінімальності відповідно для ненільпотентних підгруп, для негіперцентральних підгруп, для не майже нільпотентних підгруп, для не майже гіперцентральних підгруп; періодичних локально нільпотентних груп з умовою максимальності для ненільпотентних (відповідно негіперцентральних) підгруп; а також розвязних груп з умовою мінімальності i відповідно максимальності для підгруп, які не є розширеннями нільпотентних груп за допомогою черніковських груп.
Роботи автора за темою дисертації
1. Артемович О.Д. Идеально дифференциальные и совершенные жесткие кольца// ДАН УССР.- 1985.- N 4.- С. 3-5.
2. Артемович О.Д. О группах с дополняемыми нормальными делителями// Строение групп и свойства их подгрупп.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1986.- С. 50-55.
3. Артемович О.Д. Об изолированных элементах простого порядка в конечных группах//Укр. мат. ж.- 1988.- T.40, N 3.- С. 397-400.
4. Артемович О.Д. Неразложимые метабелевы группы// Укр. мат. ж.- 1990.- T.42, N 9.- С. 1252-1254.
5. Артемович О.Д. Про групи з майже гіперцентральними власними підгрупами// Доповіді НАН України.- 1997.- N 5.- С. 7-9.
6. Артемович О.Д. Примітивні кільця i групи Фробеніуса// Доповіді НАН України.- 1998.- N 9.- С. 11-12.
7. Artemovych O.D. On groups associated with Frobenius groups// Demonstratio Math.- 1998.- Vol.31, N 4.- P. 875-878.
8. Артемович О.Д. Розвязні групи з умовою мінімальності для негіперцентральних підгруп// Доповіді НАН України.- 1998.- N 11.- С. 7-9.
9. Artemovych O.D. On hereditary radicals in torsion-free groups// Вісник Львівського державного університету, сер. мех.-мат.- 1998.- Вип. 49.- С. 57-60.
10. Artemovych O.D. On indecomposable groups and groups with hypercentral-by-finite proper subgroups//Publicationes Mathematicae (Debrecen). - 1998.- Vol. 53, N 1-2.- P. 163-175.
11. Артемович О.Д. О I-жестких и q-жестких кольцах//Укр. мат. ж.- 1998.- T. 50, N 7.- С. 989-994.
12. Artemovych O.D. On some open problems concerning the rigid right Goldie rings// Matematychni Studii.- 1999.- Vol.9, N 2.- P. 221-222.
13. Артемович О.Д. О локально ступенчатых группах с условием минимальности для некоторой системы негиперцентральных подгрупп// Укр. мат. ж.- 1999.- T.51, N 10.- С. 1425-1430.
14. Artemovych O.D. Differentially trivial and rigid rings of finite rank// Periodica Mathematica Hungarica.- 1998.- Vol.36, N 1.- P. 1-16.
15. Артемович О.Д. Про нерозкладні групи// Вісник Київського університету, сер. фіз.-мат.- 1999.- Вип. 4.- С. 28-32.
16. Artemovych O.D. Differentially trivial left Noetherian rings// Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae.- 1999.- Vol.40, N 2.- P. 201-208.
17. Артемович О.Д. Про розвязні періодичні групи з умовою максимальності для підгруп, які не ї гіперцентральними// Вісник Київського університету, сер. фіз.-мат.- 1999.- Вип. 4.- С. 9-11.
18. Artemovych O.D. On groups related to the (arin groups// Matematychni Studii.- 1999.- Vol.11, N 2.- P. 141-148.
19. Artemovych O.D. Rigid differentially trivial hereditary rings// Вісник Львівського державного університету, сер. мех.-мат.- 1999.- Вип. 54.- C. 10-14.
20. Артемович О.Д. Про дві проблеми Ф. Саса// Вісник Ки]вського університету, сер. мех.-мат.- 1999.- Вип. 3.- C. 4-6.
21. Artemovych O.D. Solvable groups with the maximal and minimal conditions for non-``locally polycyclic-by-finite" subgroups//Вісник Львівського державного університету, сер. мех.-мат.- 1999.- Вип. 53.- С. 27-31.
22. Артемович О.Д. Групи з умовою максимальності для негіперцентральних підгруп// Вісник Кивського університету, сер. фіз.-мат.- 2000.- Вип. 1.- С.
23. Artemovych O.D. On two question of F. Sz(sz// Annales Univ. Sci. Budapest Sect. Math.- 1999.- Vol.42.- P. 35-43.
24. Artemovych O.D. Solvable groups with many conditions on nilpotentby-(ernikov subgroups// Matematychni Studii.- 2000.- Vol.13, N 1.- P. 23-32.
25. Артемович О.Д. Групи, близькі до груп Хайнекена-Мохамеда: Препринт / Львівський національний університет імені Івана Франка.- Львів: 2000.- 52 с.
26. Артемович О.Д. О связях жестких и АДТ-колец//XVII Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы докладов.- Минск: ИМ АН БССР, 1983.- С. 6.
27. Артемович О.Д. Двуступенные А-группы с дополняемыми неабелевыми нормальными делителями // X Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тезисы докладов.- Минск: ИМ АН БССР, 1986.- С. 6.
28. Артемович О.Д. К Z*-теореме // X Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тезисы докладов.- Минск: ИМ АН БССР, 1986.- С. 6.
29. Артемович О.Д.О жестких полных локальных кольцах// Топологическая алгебра.- Тезисы научных сообщений.- Кишинев: Штиинца, 1988.- С. 4-5.
30. Артемович О.Д. Два вопроса связанные с нильпотентностью// Международная конференция по алгебре, посвященная памяти А.И. Мальцева. Тезисы докладов по теории колец, алгебр и модулей.- Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989.- С. 11.
31. Artemovych O.D. Differentially trivial and rigid rings of finite rank// Rings Theory Conference (Miscolc, Hungary, July 15-20). Abstracts, 1996.- P. 3-5.
32. Artemovych O.D. On groups with hypercentral-by-finite proper subgroups and groups without proper factorization// Group Theory: Finite to Infinite (conference center ``II Giocco" castelvecchio Pascoli, near Pisa, Italy, 13-18 July 1996). Abstracts, 1996.- P. 35-36.
33. Artemovych O.D. Groups with minimal condition for non-hypercentral subgroups// International Algebraic conference dedicated to memory of D.K. Faddeev (St. Petersburg, Russia, June 24-30 1997). Abstracts, 1997.- P. 11-12.
34. Artemovych O.D. Weakly Heineken-Mohamed groups and groups with minimal condition for non-hypercentral subgroups// Groups and Group Rings. Abstracts.- Bialystok, 1997.- P. 5-6.
35. Artemovych O.D. HM*-groups and groups with minimal condition for non-hypercentral subgroups// Міжнародна конференція, присвячена памяті професора Л.М. Глускіна (Словянськ, 25-29 серпня 1997).- Кив: Ін-т математики НАНУ, 1997.- С. 67-68.
36. Артемович О.Д. О I-жестких и q-жестких кольцах// Міжнародна конференція, присвячена памяті професора Л.М. Глускіна (Словянськ, 25-29 серпня 1997).- Кив: Ін-т математики НАНУ, 1997.- С. 4-5.
37. Artemovych O.D. On groups related to the (arin groups// Groups and Group Rings VI. Abstracts.- Wisla, 1998.- P. 4-5.
38. Artemovych O.D. Two question of F. Sz(sz// Second international algebraic conference in Ukraine dedicated to the memory of professor L.A. Kaloujnine (Kyiv-Vinnytsia).- Kyiv: Institute of Maths, 1999.- P. 6-7.
39. Artemovych O.D. Nilpotent extensions of abelian groups and ndecomposable groups// The Seventh International Conference ``Groups and Group Rings".- Supra(l, 1999.- P. 1-2.