Опис властивостей кілець, що визначені деякими наперед радикалами. Дослідження структури гратки I-радикалів. Вивчення кільця за допомогою напівпростих та ідеальних скрутів. Ідемпотентні радикали, утворені певними класами простих лівих модулів кілець.
Аннотация к работе
Нагадаємо, що властивостями категорії модулів описуються такі кільця, як класично напівпрості (всі ліві модулі проективні), регулярні в сенсі фон Неймана (кожний лівий модуль плоский), нетерові зліва (пряма сума інєктивних лівих модулів інєктивна), артінові зліва (кожний інєктивний лівий модуль є прямою сумою інєктивних оболонок простих лівих модулів), напівартінові зліва (кожний ненульовий лівий модуль має ненульовий цоколь) та інші. Також слід відзначити важливий результат цього математика про характеризацію таких кілець, для яких всі несингулярні праві модулі проективні, а саме: ця умова є справедливою тоді і тільки тоді, коли кільце Моріта - подібне до скінченного прямого добутку повних нижніх матричних кілець над тілами. Длаб знайшов необхідні і достатні умови на кільце, за яких множина скрутів в категорії лівих модулів складається з двох елементів, а саме: в категорії лівих модулів над кільцем існують точно два скрути тоді і тільки тоді, коли це кільце ізоморфне повному матричному кільцю над локальним досконалим справа кільцем. Варто навести ще один результат В.Длаба з цього напрямку, а саме: всі скрути в категорії лівих модулів над кільцем є джансовими напівпростими тоді і тільки тоді, коли це кільце є досконалим справа. Цей результат встановив О.Л.Горбачук, а Ж.Віола-Пріолі вдалося звести питання розщеплюваності всіх напередскрутів до питання про розщеплюваність всіх напередскрутів в категорії лівих модулів над простою лівою V-областю, а саме: всі напередскрути в категорії лівих модулів над кільцем розщеплюються тоді і тільки тоді, коли це кільце Моріта - подібне до скінченного прямого добутку простих лівих V-областей.Під напівлокальними кільцями ми будемо розуміти такі кільця, які є класично напівпростими по модулю радикала Джекобсона цього кільця, а під досконалими кільцями - такі кільця, які є досконалими зліва і досконалими справа. У підрозділі 2.1 вивчається частково впорядкована множина Ir(l,R),(Ir(r,R)) всіх I-радикалів в категорії лівих (правих) модулів над кільцем R. У підрозділі 2.2 встановлено необхідні і достатні умови булевості гратки I-радикалів та вивчено кільця, для яких це має місце. Тоді кільце має нерозкладний кільцевий розклад, тобто де - нерозкладні кільця, причому множина I-радикалів в категорії лівих R-модулів складається з елементів. Зауважимо тепер, що з останнього наслідку випливає теорема М.Я.Комарницького, яка стверджує, що ліве дуокільце є кільцевою прямою сумою деяких локальних досконалих справа кілець тоді і тільки тоді, коли кожний скрут в категорії лівих модулів над цим кільцем є S-скрутом (Комарницкий Н.Я.Дисертація присвячена характеризації кілець за допомогою напередрадикалів (I-радикали, S-скрути, напівпрості скрути, ідеальні скрути, ідемпотентні радикали, копороджені класами простих лівих модулів), за допомогою граток деяких напередрадикалів (гратки I-радикалів та S-скрутів), а також вивченню властивостей граток певних напередрадикалів (гратки I-радикалів та S-скрутів).
План
2. Основний зміст
Вывод
Дисертація присвячена характеризації кілець за допомогою напередрадикалів (I-радикали, S-скрути, напівпрості скрути, ідеальні скрути, ідемпотентні радикали, копороджені класами простих лівих модулів), за допомогою граток деяких напередрадикалів (гратки I-радикалів та S-скрутів), а також вивченню властивостей граток певних напередрадикалів (гратки I-радикалів та S-скрутів). Результат М.Я.Комарницького про те, коли всі скрути є S-скрутами для лівого дуокільця, узагальнено і перенесено на некомутативний випадок.
Дисертаційні дослідження повязані з відомими класами кілець (класично напівпрості кільця, напівпримітивні кільця, напівлокальні кільця, досконалі зліва кільця, напівартінові зліва кільця). Сформулюємо основні результати дисертації: показано, що частково впорядкована множина I-радикалів є граткою, і вивчено її загальні властивості;
показано, що частково впорядкована множина S-скрутів над лівим дуокільцем є граткою, і вивчено її загальні властивості;
доведено ізоморфність граток I-радикалів в категоріях модулів над Моріта-подібними кільцями;
зясовано необхідні і достатні умови булевості граток I-радикалів та S-скрутів;
зясовано необхідні і достатні умови ідеальності всіх напівпростих скрутів;
зясовано необхідні і достатні умови для того, щоб кожен скрут був S-скрутом у випадку напівпримітивного кільця;
зясовано необхідні і достатні умови для співпадання множини I-радикалів з множиною скрутів.
Результати дисертації одержано застосуванням методів теорії напередрадикалів, радикалів і скрутів в категорії модулів та загальної теорії кілець і модулів.
Список литературы
1. Maturin Yu. On semisimple torsions // Вісник Київського університету. Серія фізико-математична. - 2000. - 1. - С.42-46.
2. Horbachuk O., Maturin Yu. On S-torsion theories in R-Mod // Matematychni Studii. - 2001. -15, N2 - P.135-139.
3. Матурін Ю.П. Про I-радикали // Вісник національного університету “Львівська політехніка”. Прикладна математика. - 2000. - N407. - С.267-274.
4. Матурін Ю.П. I - радикали та напівлокальні кільця // Вісник національного університету “Львівська політехніка”. Прикладна математика. - 2000. - N411. - C. 231-235.
5. Горбачук О.Л., Матурін Ю.П. Розщеплення напередрадикалів // Вісник Львівського університету. Серія механіко-математична. - 1999. - 54 - С.42-47.
6. Maturin Yu. When is the lattice of I-radicals Boolean // Third International Algebraic Conference in Ukraine. - Sumy (Ukraine). - 2001. - P. 71-72.
7. Матурін Ю.П. Гратки напередрадикалів та класифікація кілець. - Рукопис.