Проблема усереднення загальних задач векторної оптимізації. Єдиний формалізм процесу їх усереднення. Розробка математичного апарату для побудови усереднених задач, їх структура та основні топологічні властивості. Концепція варіаційної V-збіжності.
Аннотация к работе
Не випадково саме в рамках економіко-математичної теорії сформулювалося ключове для проблеми багатокритеріального вибору поняття Парето - оптимальності, яке лежить в основі сучасних уявлень про економічну ефективність. Проте, з точки зору практичних застосувань, на етапі оптимального проектування таких систем за багатьма критеріями важливо вміти визначити їх поведінку при і побудувати в певному розумінні граничну задачу оптимального проектування, тобто ввести поняття граничного переходу на такій множині обєктів, як задачі векторної оптимізації. Дисертаційна робота ставить за мету ввести для широкого класу загальних задач векторної оптимізації єдиний формалізм процесу їх усереднення (граничного аналізу), запропонувати математичну основу для побудови граничних задач, встановити достатні умови існування таких задач, визначити їх структуру та основні варіаційні і топологічні властивості. Вважається, що компоненти математичного опису задачі (1) можуть довільним чином залежати від деякого "малого" параметра . Методикою досліджень виступає топологічний аналіз абстрактних задач векторної оптимізації, зокрема зведення проблеми усереднення таких задач до дослідження топологічної збіжності надграфіків відповідних векторнозначних відображень.У першому розділі подається огляд літератури за обраною темою, окреслені основні етапи розвитку наукової думки в галузі методів усереднення оптимізаційних задач. Наведено перелік питань, розвязання яких дозволить побудувати аксіоматичні основи теорії усереднення таких задач. У другому розділі міститься якісний аналіз абстрактних задач векторної оптимізації. Зокрема досліджується проблема існування розвязків таких задач в залежності від топологічних властивостей векторнозначних відображень. Таким чином, основною задачею даного розділу є побудова таких класів векторних відображень, при яких множина розвязків відповідних задач векторної оптимізації буде не порожньою.В дисертаційній роботі отримано такі результати: для загальних задач векторної оптимізації запропоновано аксіоматичні основи теорії їх усереднення; розроблено концепцію варіаційної - збіжності таких задач, яка може служити математичним апаратом для побудови усереднених задач; наведено достатні умови, за яких варіаційну-границю сукупності задач векторної оптимізації в евклідовому просторі можна подати в термінах-границь відповідних скалярних задач умовної мінімізації; показано, що варіаційна S-збіжність задач умовної мінімізації та Г-збіжність напрямленості функціоналів випливають як частинний випадок із запропонованих автором означень варіаційної-збіжності; Одержані результати дозволяють для параметризованих задач векторної оптимізації, чисельне дослідження яких неможливе через неспроможність обчислювальних процедур, встановити аналітичний вигляд усередненої, тобто - граничної за параметром задачі.
План
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
Вывод
В дисертаційній роботі отримано такі результати: для загальних задач векторної оптимізації запропоновано аксіоматичні основи теорії їх усереднення;
розроблено концепцію варіаційної - збіжності таких задач, яка може служити математичним апаратом для побудови усереднених задач;
встановлено достатні умови існування - граничних задач;
визначено структуру - граничних задач, основні топологічні й варіаційні властивості;
встановлено звязок між наведеною - збіжністю векторнозначних відображень та топологічною збіжністю їх надграфіків і конадграфіків;
для топологічних просторів, які задовольняють першій аксіомі зліченості, дано еквівалентне означення - границь у термінах збіжних послідовностей;
наведено достатні умови, за яких варіаційну -границю сукупності задач векторної оптимізації в евклідовому просторі можна подати в термінах -границь відповідних скалярних задач умовної мінімізації;
показано, що варіаційна S-збіжність задач умовної мінімізації та Г-збіжність напрямленості функціоналів випливають як частинний випадок із запропонованих автором означень варіаційної -збіжності;
встановлено, що концепція - збіжності узгоджується з теорією - збіжності абстрактних операторів.
Одержані результати дозволяють для параметризованих задач векторної оптимізації, чисельне дослідження яких неможливе через неспроможність обчислювальних процедур, встановити аналітичний вигляд усередненої, тобто - граничної за параметром задачі.
СПИСОК ОСНОВНИХ ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Когут П.І., Рудянова Т.М. V-граничний аналіз векторнозначних відображень // Український математичний журнал. -2000.- Т. 52. № 12. - С. 1661-1675.
2. Когут П.И., Рудянова Т.Н. Вариационный принцип V-выбора в общих задачах векторной оптимизации // Проблемы управления и информатики. - 2000.- №3.- С.5-16.
3. Когут П.І., Рудянова Т.М. Про варіаційну V-збіжність загальних задач векторної оптимізації // Доп. НАН України. - 2000. - № 5. - С. 92-97.
4. Когут П.И., Рудянова Т.Н., Скалозуб В.В. Предельный анализ задач оптимального проектирования конструкций с учетом моды начальных несовершенств// Придніпровський науковий вісник. Сер.фіз.- мат. науки. - 1998. - № 112 (179). - С. 20-30.
5. Когут П.І., Повідайко П.М., Рудянова Т.М. До усереднення задач векторної оптимізації в евклідових просторах// Вісник ЖІТІ. Сер.техн. науки).- 2000.- № 12.- С. 184-194.
6. Когут П.І., Рудянова Т.М. Теореми існування для задач векторної оптимізації// Математичне моделювання в інженерних та економічних задачах транспорту: 3б.наук.праць.- Дніпропетровськ: Січ, 1999. - С. 81-93.
7. Когут П.І., Рудянова Т.М. Про існування розвязків в задачах векторної оптимізації// Книга за матеріалами V міжнародної н.-т. конф. "Контроль і управління в складних системах".- Вінниця: Універсум, 1999. - С. 78-86.
8. Когут П.И., Рудянова Т.Н., Скалозуб В.В. Об S-усреднении задач векторной оптимизации// IV международная конференция "Математика. Компьютер. Образование" (Пущино, 29 янв.-3 февр. 1997 г.), Москва, 1997. - С. 75.
9. Когут П.И., Рудянова Т.Н. Усреднение задач векторной оптимизации// Міжнародна науково-методична конференція “Компютерне моделювання”. Тези доповідей (24-26 червня), м. Дніпродзержинськ, 1998. - N 3.- С. 63.
10. Когут П.І., Рудянова Т.М. Проблеми усереднення задач векторної оптимізації// Матеріали 6-ої української конференції з автоматичного керування "Автоматика-99" (10-13 травня), Харків, 1999. - С. 6
11. Когут П.И., Рудянова Т.Н. Вариационная сходимость задач векторной оптимизации// Тезисы докладов 7-ой Междунар. конф. "Математика, экономика, экология, образование", Ростов- на - Дону, (26 мая - 1 июня), 1999. С. 233-234.
12. Рудянова Т.Н. Предельный анализ задач векторной оптимизации// Моделювання та оптимізація складних систем (25-28 січня), Київ, 2001, С. 61-62.
13. Рудянова Т.Н. Проблемы предельного анализа задач векторной оптимизации// I Міжнародна наукова конференція “Проблеми економіки транспорту в умовах реструктуризації ” (8-9 лютого), Дніпропетровськ, 2001. С. 36.