Характеристика отношения параллельности на плоскости Лобачевского. Анализ положений неевклидовой геометрии. Примеры видоизменения теорем, основанных на аксиоме параллельности. Анализ сущности параллельных и непараллельных линий в геометрии Лобачевского.
Аннотация к работе
Кемерово 2016 Кемеровский государственный университет Институт фундаментальных НАУКГЕОМЕТРИЯ Лобачевского Теория параллельных линий Геометрия ЛОБАЧЕВСКОГОВ геометрии Лобачевского для данной точки вне прямой есть две параллельных и много РАСХОДЯЩИХСЯОТНОШЕНИЯ параллельности на плоскости ЛОБАЧЕВСКОГОИНТЕРЕСЕН тот факт, что в Геометрии Лобачевского для двух расходящихся прямых есть прямая , параллельная им обоим Доказательству этого факта посвящен этот доклад.Из истории К мысли о том, что существует другая - неевклидова геометрия пришли несколько ученых: русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-1856), немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) и венгерский математик Янош Бойяи (1802-1860). Если нарисовать прямую А и точку на листе бумаги, то через эту точку и правда можно провести всего одну прямую В, не пересекающую предыдущую.А вот на кривой поверхности таких прямых будет гораздо больше. И именно геометрия Лобачевского описывает его лучше всего.Без геометрии Лобачевского у нас не было бы теории относительности Эйнштейна, исследований Клейна и ПУАНКАРЕЕГО работы расширили наше представление о мире и дали возможность составить о нем более точное представление.В геометрии Лобачевского сохраняются все теоремы, которые в евклидовой геометрии можно доказать без использования пятого постулата, например: вертикальные углы равны; углы при основании равнобедренного треугольника равны; из данной точки можно опустить на данную прямую только один перпендикуляр ; сохраняются также признаки равенства треугольников и др.Однако теоремы, при доказательстве которых применяется аксиома параллельности, видоизменяются. Оказывается, что в этой геометрии площадь треугольника замечательным образом связана с его дефектом S АВС = k * D ABC где S и D означают площадь и дефект треугольника, а число k зависит от выбора единиц измерения площадей и углов.Именно такие неограниченно приближающиеся друг к другу прямые Лобачевский называет в своей геометрии параллельными.А прямые , которые имеют единственный общий перпендикуляр, который является самым коротким отрезком от одной до другой прямой, называются РАСХОДЯЩИМИСЯИТАК, на плоскости Лобачевского все прямые линии, выходящие из одной точки С к заданной прямой АВ делятся на пересекающие ее, либо на параллельные ей , либо на расходящиеся с ней .Расходящиеся прямые p и q на плоскости Лобачевского, t - их единственный перпендикуляр, причем основания перпендикуляров, опущенных из точки M на q , заполнят лишь конечный отрезок.В плоскости Лобачевского через точку C вне данной прямой AB проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие AB. П( р )< ? ? Прямые, лежащие внутри угла, называются расходящимися по отношению к AB .Если прямые p и q пересекают друг друга, то проекции точек одной из них на другую также заполняют ограниченный отрезок (r и s - перпендикуляры, параллельные q ) .Если прямые p и q параллельны, то в одном направлении расстояния между их точками неограниченно убывают, а в другом неограниченно возрастают; одна прямая проецируется на луч другой.Между двумя расходящимися прямыми есть две прямые, параллельные им обеим; они делят пространство между расходящимися прямыми на три области: через точки в одной области можно провести прямые, пересекающие обе стороны угла; через точки в двух других областях таких прямых провести нельзя.На этом рисунке изображен интересный вариант расположения трех прямых на плоскости Лобачевского: каждые две из них параллельны (только в разных направлениях).Все прямые параллельны друг другу в одном направлении (пучок параллельных прямых ).