Геометрия чисел - Курсовая работа

В работе рассматривается основная задача геометрии чисел, приводится теорема Минковского с ее доказательством, и объясняются такие понятия геометрии чисел как решетки и критические решетки. В двумерном случае эта теорема утверждает, что область A всегда содержит точку (u1,u2) с целыми координатами, отличную от начала, если эта область удовлетворяет следующим трем условиям: область A симметрична относительно начала координат; т. е. если точка (x1,x2) находится в A, то точка (-x1,-x2) также содержится в A; Вместо области A Минковский рассматривает область j = A/2, которая состоит из точек (x1/2,x2/2), где (x1,x2) - точки области A. Так как точка (?1, ?2) лежит в области j(u1,u2), то тогда точка (?1 - u1, ?2 - u2) лежит в области j; следовательно, ввиду симметрии области j точка (u1 - ?1, u2 - ?2) находится в j. Наконец, в силу выпуклости тела j середина отрезка, соединяющего точку (u1 - ?1, u2 - ?2) с точкой (?1, ?2), то есть точка (u1/2,u2/2), лежит в j, а потому точка (u1,u2) находится в A.

Содержание.

2

2. Постановка задачи. 3

3. Основная задача геометрии чисел. 4

4. Теорема Минковского. 6

5. Доказательство теоремы Минковского. 7

6. Решетки. 10

7. Критические решетки. 13

8. «Неоднородная задача». 17

9. Список литературы. 18

Возникновением теории чисел мы, по большому счету, обязаны Минковскому. Минковский (Minkowski), Герман - выдающийся математик (1864 - 1909), еврей, родом из России. Был профессором в Бонне, Кенигсберге, Цюрихе и Геттингене. Сблизил теорию чисел с геометрией, создав особое учение о "геометрии чисел" ("Geometrie der Zahlen", 1896 - 1910; "Diophantische Approzimationen", 1907, и др.). Последняя его работа: "Raum und Zeit" (Лейпциг.,1909; несколько русских переводов); здесь дана смелая математическая формулировка так называемого "принципа относительности". Полное собрание сочинение Минковского вышло в Лейпциге, в 1911 г.; биография Минковского в русском издании "Пространство и время". Таким образом, Минковский сделал большой вклад в развитие математики как науки. В частности, он сумел упростить теорию единиц полей алгебраических чисел, а также упростил и развил теорию аппроксимации иррациональных чисел рациональными, или теорию диофантовых приближений. Под диофантовыми приближениями в данном случае понимается раздел теории чисел, изучающий приближения действительных чисел рациональными и вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств с действительными коэффициентами. Это новое направление, которое Минковский назвал „геометрией чисел", развилось в независимый раздел теории чисел, имеющий много приложений в самых различных вопросах и вместе с тем достаточно интересный для самостоятельного изучения.

Постановка задачи.

Для начала я хочу рассмотреть некоторые понятия и результаты, играющие в дальнейшем основную роль. Рассуждения, которыми мы здесь пользуемся, иногда значительно отличаются от рассуждений в основных книгах по данному вопросу, так как в данной работе мы имеем целью, не давая полных доказательств, сделать для простейших случаев геометрическую ситуацию интуитивно ясной, тогда как позднее мы будем вынуждены жертвовать наглядностью ради точности. В работе рассматривается основная задача геометрии чисел, приводится теорема Минковского с ее доказательством, и объясняются такие понятия геометрии чисел как решетки и критические решетки. В конце работы приводится так называемая «неоднородная задача» геометрии чисел.

Основная задача геометрии чисел.

Основной и типичной задачей геометрии чисел является следующая задача.

Пусть f(х1,…,xn) - функция вещественных аргументов, принимающая вещественные значения. Как мал может быть if(u1,…,un)i при подходящем выборе целых чисел u1,…,un? Может встретиться тривиальный случай f(0,…,0)=0, например, если f(х1,…,xn) является однородной формой; в этом случае совокупность значений u1 = u2 = ... = un = 0 из рассмотрения исключается (“однородная проблема”).

Обычно рассматриваются оценки, применимые не только для конкретных функций f, но и для целых классов функций. Так, типичным результатом такого рода является следующее предложение. Пусть f(x1,x2) = a11x12 2a12x1x2 a22x22 (1)

- положительно определенная квадратичная форма. Тогда найдутся такие целые числа u1,u2, не равные одновременно нулю, что справедливо неравенство f(u1,u2) ? (4D/3)1/2 (2) где D = a11a22 - a122 - определитель формы. Ясно, что если этот результат верен, то он является наилучшим. Действительно, u12 u1u2 u22 ? 1 для всех пар целых чисел u1,u2, не равных одновременно нулю; здесь D = 3/4.

Конечно, случай положительно определенных бинарных квадратичных форм крайне прост, и результат задачи был известен задолго до возникновения геометрии чисел. Однако на положительно определенных бинарных квадратичных формах относительно просто проводятся некоторые рассуждения геометрии чисел, так что эти формы удобно использовать в качестве иллюстрации всех рассуждений.

Только что сформулированный результат можно выразить наглядно. Неравенство типа f(x1,x2) ? k, где f(x1,x2) - форма (1), а k - некоторое положительное число, задает область A плоскости {x1,x2}, ограниченную эллипсом. Таким образом, наше предложение утверждает, что если k ? (4D/3)1/2, то область A содержит точку (u1,u2) с целыми координатами u1 и u2, не равными одновременно нулю.

Теорема Минковского.

Аналогичный, но, правда, не настолько точный результат немедленно следует из основной теоремы Минковского. В двумерном случае эта теорема утверждает, что область A всегда содержит точку (u1,u2) с целыми координатами, отличную от начала, если эта область удовлетворяет следующим трем условиям: область A симметрична относительно начала координат; т. е. если точка (x1,x2) находится в A, то точка (-x1,-x2) также содержится в A;

область A выпукла; т. е. если (x1,x2), (y1,y2) - две какие-нибудь точки области A, то и весь отрезок

{lx1 (1-l)y1, lx2 (1-l)y2}, 0 ? l ? 1, соединяющий эти точки, также содержится в A;

3) площадь A больше 4.

Любой эллипс f(x1,x2) ? k удовлетворяет условиям 1) и 2). Так как его площадь равна kp / (a11a22 - a12)1/2 = kp / D1/2, то он удовлетворяет условию 3), если kp > 4D1/2. Таким образом, мы имеем результат, аналогичный приведенному выше предложению, если в (2) константу (4/3)1/2 заменить любым числом, большим 4/p.

Доказательство теоремы Минковского.

Интересно будет кратко рассмотреть основные идеи, лежащие в основе доказательства теоремы Минковского, потому что в формальных доказательствах, приводимых основными источниками, они заслоняются необходимостью получения сильных теорем, имеющих наиболее широкие приложения.

Вместо области A Минковский рассматривает область j = A/2, которая состоит из точек (x1/2,x2/2), где (x1,x2) - точки области A. Таким образом, область j симметрична относительно начала координат и выпукла, ее площадь равна четверти площади области A и, следовательно, больше 1. В общем случае Минковский рассматривает совокупность областей j (u1,u2) с центрами в целочисленных точках (u1,u2), полученных из тела j параллельными переносами.

Для начала справедливо отметить, что если j и j(u1,u2) пересекаются, то точка (u1,u2) находится в A. Обратное утверждение тривиально. Если точка (u1,u2) находится в A, то точка (u1/2,u2/2) содержится как в j, так и в j(u1,u2). Действительно, пусть (?1, ?2) - точка, лежащая в пересечении. Так как точка (?1, ?2) лежит в области j(u1,u2), то тогда точка (?1 - u1, ?2 - u2) лежит в области j; следовательно, ввиду симметрии области j точка (u1 - ?1, u2 - ?2) находится в j. Наконец, в силу выпуклости тела j середина отрезка, соединяющего точку (u1 - ?1, u2 - ?2) с точкой (?1, ?2), то есть точка (u1/2,u2/2), лежит в j, а потому точка (u1,u2) находится в A. Что, собственно, и требовалось доказать. Ясно, что область j(u1,u2) тогда и только тогда пересекается с областью j(u1’,u2’), когда область j пересекается с областью j(u1 - u1’, u2 - u2’).

Таким образом, чтобы теорема Минковского была доказана, достаточно показать, что если области j(u1,u2) не пересекаются, то площадь области j(u1,u2) не превышает 1. Небольшое размышление убеждает, что так должно быть. Другое обоснование, возможно интуитивно более ясное, можно получить, полагая, что область j целиком содержится в квадрате x1? X, |x2| ? X, при этом нужно учитывать то, что выпуклая область конечной площади ограничена.

Пусть U - достаточно большое целое число. Существует (2U 1)2 областей j(u1,u2), координаты центров которых удовлетворяют неравенствам u1? U, |u2| ? U.

Все эти области целиком находятся в квадрате x1? U X, |x2| ? U X, площадь которого равна

4 (U X)2.

Так как предполагается, что области j(u1,u2) не пересекаются, то имеет место неравенство

(2U 1)2V ? 4(U X)2, где V - площадь области j, а значит, и любой области j(u1,u2). Устремляя теперь U к бесконечности, мы получаем неравенство V ? 1, что и требовалось доказать.

Решетки.

Преобразование координат в приведенном примере с определенной бинарной квадратичной формой может привести и к другой точке зрения. Мы можем представить форму f(x1,x2) как сумму квадратов двух линейных форм f(x1, x2) = Х12 Х22, (3) где

Х1 = ax1 bx2, X2 = gx1 dx2, (4) a,b,g,d - некоторые постоянные вещественные числа. Можно, например, положить a = a111/2, b = a11-1/2a12, g = 0, d = a11-1/2D1/2.

Обратно, если a,b,g,d - такие вещественные числа, что ab - gd ? 0, и формы Х1, Х2 заданы равенствами (4), то выражение

Х12 Х22 = a11x12 2a12x1x2 a22x22, где a11 = a2 g2, a12 = ad bg, (5) a22 = b2 d2, является положительно определенной квадратичной формой с определителем

D = a11a22 - a122 = (ad - bg)2. (6)

Теперь будем рассматривать пару (Х1, Х2) как систему прямоугольных декартовых координат. Тогда говорят, что точки (Х1, Х2), соответствующие целым (x1, x2) в выражениях (4), образуют (двумерную) решетку L. В векторных обозначениях решетка L есть совокупность точек

(Х1, Х2) = u1(a,g) u2(b,d), (7)

где u1, u2 пробегают все целые числа; точки (векторы) (a,g) и (b,d) образуют базис решетки L.

Рассмотрим теперь более подробно свойства решеток. Ввиду того, что мы рассматриваем решетку L просто как множество точек, мы можем ее описать с помощью различных базисов. Например, пара

(? - ?, ? - ?), (- ?, - ?) является другим базисом решетки L. Фиксированный базис (?, ?), (?, ?) решетки L определяет разбиение плоскости двумя семействами равноудаленных параллельных прямых; первое семейство состоит из тех точек (Х1, Х2), которые имеют координаты вида (7), где u2 - любое целое число, а u1 - любое вещественное. Для линий второго порядка семейства u1 и u2 меняются ролями. Таким образом, плоскость разбивается на параллелограммы, вершинами которых являются как раз точки решетки L.

Разумеется, что это разбиение зависит от выбора базиса. Однако, можно показать, что площадь получаемых параллелограммов, именно число

|?? - ??|, не зависит от выбора базиса. Это становится возможным, если показать, что число N(X) точек решетки в достаточно большом квадрате ? (Х): |Х1| ? Х, |Х2| ? Х удовлетворяет соотношению

N(X) / 4X2 > 1 / |?? - ??| (X > ?).

Действительно, рассмотрение идей доказательства теоремы Минковского о выпуклом теле, которое было приведено в кратком виде выше, показывает, что число точек решетки L в квадрате ? (Х), грубо говоря, равно числу параллелограммов, находящихся в этом квадрате. А это число, в свою очередь, приблизительно равно площади квадрата ? (Х), деленной на площадь |?? - ??| одного параллелограмма. Строго положительное число d (L) = |?? - ??| (8) называется определителем решетки L. Как было только что показано, это число не зависит от выбора базиса.

Критические решетки.

Используя введенные выше новые понятия, можно заметить, что утверждение о существовании целых решений неравенства f(х1,х2) ? (4D/3)1/2 эквивалентно утверждению о том, что любая решетка L в области

Х12 Х22 ? (4/3)1/2 d(L) (9) имеет точки, отличные от начала координат. В силу однородности это в свою очередь эквивалентно утверждению, что открытый круг

D: Х12 Х22 < 1 (10) содержит точку каждой решетки L, для которой d(L) < (3/4)1/2. А тот факт, что существуют такие формы, для которых в (2) знак равенства необходим, эквивалентен существованию решетки Lc с определителем d(Lc) = (3/4)1/2, не имеющей точек в круге D. Таким образом, задача о произвольной определенной бинарной квадратичной форме эквивалентна задаче о фиксированной области D и произвольной решетке. Аналогично исследование решеток с точками в области

| Х1 Х2| < 1 дает информацию о минимумах inf |f(u1,u2)| неопределенных бинарных квадратичных форм f(x1,x2). Здесь точная нижняя граница берется по всем целым числам u1 и u2, не равным одновременно нулю. Примеры можно продолжить.

Подобные рассмотрения приводят к следующим определениям. Говорят, что решетка L допустима для области (точечного множества) A в плоскости {Х1,Х2} если она не содержит никаких других точек A, кроме, может быть, начала координат. Последний случай возможен, когда начало координат является точкой области A. Тогда мы говорим, что эта решетка A-допустима. Точная нижняя грань ?(A) определителей d(?) всех A-допустимых решеток является константой области A. Если A-допустимых решеток не существует, то полагаем, что ?(A) = ?. Тогда любая решетка ?, для которой d(?) < ?(A), обязательно содержит точку области A, отличную от начала координат. A-допустимая решетка ?, для которой d(?) = ?(A), называется критической (для A). Конечно, критические решетки, вообще говоря, существуют не всегда.

Важность критических решеток была замечена уже Минковским. Если Lc - критическая решетка области A, а решетка ? получена из ?с небольшой деформацией (то есть малым изменением пары базисных векторов), то либо решетка ? имеет точку, отличную от начала координат и лежащую в области A, либо d(?) ? d(?с). Либо и то, и другое вместе.

В качестве примера можно снова рассмотреть открытый круг

D: Х12 Х22 < 1.

Предположим, что ?с - критическая решетка области D. Ниже будет дан набросок доказательства того, что если критическая решетка существует, то она должна иметь три пары точек ±(А1, А2), ±(В1, В2), ±(С1, С2) на границе Х12 Х22 = 1 круга D.

Если ?с не имеет точек на окружности Х12 Х22 = 1, то можно будет получить D-допустимую решетку с меньшим определителем, гомотетически сжимая решетку ?с к началу координат, то есть рассматривая решетку L = T?С точек (TX1, TX2), где (Х1, Х2) I ?с , а t - это фиксированное число с условием 0 < t < 1. Тогда d(L) = t2d(Lc) < d(Lc) и, очевидно, L будет D-допустимой решеткой, если t достаточно близко к 1. Таким образом, решетка Lc содержит пару точек на окружности Х12 Х22 = 1, координаты которых после надлежащего поворота осей мы можем считать равными ± (1, 0).

Если бы на окружности Х12 Х22 = 1 не было бы больше точек решетки Lc, то мы смогли бы получить D-допустимую решетку L с меньшим определителем, сжимая решетку Lc в направлении, перпендикулярном оси X1, то есть принимая за L решетку точек (Х1, ТХ2), где (Х1, Х2) I ?с, а t достаточно близко к 1.

Наконец, если бы ?с имела бы только две пары точек ±(1, 0), ± (В1, В2) на границе, то решетку можно было бы слегка деформировать так, чтобы точка (1, 0) осталась на месте, а точка с координатами (В1, В2) продвинулась бы вдоль окружности Х12 Х22 = 1 ближе к оси Х1. Наглядно это представлено на рисунке: Данная операция, как легко проверить, уменьшает определитель, и при небольших деформациях получающаяся решетка ? остается D-допустимой. Действительно, (1,0) и (В1, В2) можно рассматривать как базис решетки ?с, так как треугольник с вершинами (0, 0), (1, 0), (В1, В2), а следовательно, и параллелограмм, отвечающий базису (1, 0), (В1, В2) не содержит внутри себя точек ?с. Тогда критическая решетка ?с (если она существует) должна иметь три пары точек на окружности Х12 Х22 = 1. Легко увидеть, что единственной решеткой, у которой три пары точек лежат на окружности Х12 Х22 = 1, а одна из пар есть пара ± (1, 0), является решетка ? с базисом

(1, 0), (1/2, v3/4).

Она содержит вершины правильного шестиугольника

± (1, 0), ± (1/2, v3/4), ±(-1/2, v3/4), лежащие на окружности Х12 Х22 = 1, но не содержит ни одной точки (кроме (0, 0)) в круге Х12 Х22 < 1. Таким образом, мы показали, что если D имеет критическую решетку, то ?(D) = d(? ) = (3/4)1/2. Минковский показал, что критические решетки существуют для довольно широкого класса областей A, показав, грубо говоря, что любую A-допустимую решетку ? можно постепенно деформировать до тех пор, пока она не станет критической.

“Неоднородная задача”

Другим общим типом проблемы является следующая типичная «неоднородная задача». Пусть f(х1,…,xn) - некоторая вещественнозначная функция вещественных аргументов х1, . . ., xn. Требуется подобрать постоянное число k со следующим свойством: если ?1, ..., ?n - любые вещественные числа, то найдутся такие целые числа u1,…,un, что ¦f(?1 - u1,…, ?n - un)¦? k.

Подобные вопросы естественно возникают, например, в теории алгебраических чисел. И на этот раз имеется простая геометрическая интерпретация. Для наглядности положим n = 2. Пусть A - множество таких точек (х1, х2) двумерной евклидовой плоскости, что ¦f(x1, …, xn)¦? k.

Пусть u1, u2 - любые целые числа; обозначим через A(u1, u2) область, полученную из A параллельным переносом на вектор (u1, u2); иными словами, A(u1, u2) есть множество таких точек х1, х2, что ¦f(х1 - u1, х2 - u2)¦? k.

Неоднородная проблема состоит в выборе k таким образом, чтобы области A(u1, u2) покрывали всю плоскость. Желательно выбрать k, а значит и A, наименьшим из всех возможных (но так, чтобы свойство покрывать всю плоскость сохранилось). Здесь мы имеем противоположность постановке однородной задачи, приведенной выше, где цель состояла в том, чтобы сделать области наибольшими, но все еще не пересекающимися одна с другой.

1. Касселс, Дж. В. С. Геометрия чисел - М., Мир, 1965г.

2. Минковский Г. Геометрия чисел - Лейпциг, 1911г. (переиздание 1996г.)

3. Марков А. А. О бинарных квадратичных формах положительного определителя - СПБ., 1948г.

4. Чеботарев М. Г. Заметки по алгебре и теории чисел - УЧ Зап. Каз. Унив-та, 1934г. (переиздание 1994г.)

5. Чеботарев М. Г. Доказательство теоремы Минковского о неоднородных линейных формах - М., Мир, 1949г.