Розробка напрямку методів геометричного моделювання та сканування в окремих точках скалярних полів. Шляхи усереднення результатів суперпозиції поверхонь, носіями яких є адаптивні інваріантні шаблони. Алгоритми реалізації методу для двовимірних задач.
Аннотация к работе
Великий арсенал методів розвязання класичних крайових задач виявився недостатнім для нетрадиційних постановок тих же задач: за наявності збурень у структурі рівнянь, в граничних умовах або у геометрії області, коли граничні умови відомі лише на частині границі області, при дискретно заданих граничних умовах, при відсутності граничних умов та наявності натомість набору значень досліджуваного параметра на множині внутрішніх точок області. Таким чином, розповсюдженість задач, які повязані з дослідженням стаціонарних температурних полів, та велике практичне значення результатів таких досліджень дозволяють виділити ці поля в якості головного обєкту наших досліджень. Отже, наукова проблема, на розвязання якої спрямовані основні зусилля при виконанні дисертаційних досліджень, обмежується необхідністю створення нових спільних підходів до розробки методів геометричного моделювання стаціонарних скалярних полів в задачах зі змішаним поданням інформації про відновлювану функцію та пошуком можливостей поширення цих методів на задачі з іншими видами залежностей. Дисертаційні дослідження виконуються у відповідності до пріоритетного напрямку розвитку науки і техніки в Україні: "Нові компютерні засоби та технології інформатизації суспільства" за темами: "Розробка інформаційних технологій геометричного моделювання скалярних полів" (номер державної реєстрації № 0105U002749) та "Розробка інформаційних технологій підтримки наукових досліджень при створенні прогресивних методів опорядження текстильних матеріалів" (номер державної реєстрації № 0104U002488), а також у відповідності до науково-дослідної програми кафедри прикладної математики та математичного моделювання Херсонського національного технічного університету за темою "Геометричне моделювання в алгоритмах обчислювальної математики" (номер державної реєстрації 0106U011443). При розвязанні поставлених у роботі задач використовуються методи аналітичної та диференціальної геометрії, методи теорії функцій комплексного змінного та конформних відображень, методи компютерного імітаційного моделювання, обчислювальні методи, методи теорії ймовірностей та математичної статистики, метод скінченних елементів.В роботі показано, що при раціональному формуванні системи шаблонів послідовність точок перетину побудованими площинами перпендикуляру, з основою в досліджуваній точці, має особливу властивість: осереднені частинні суми аплікат послідовності точок перетину збігаються до значення гармонічної функції в досліджуваній точці. Математичне сподівання перехідної ймовірності з будь-якої точки, що входить до множини n точок, які одночасно випадковим чином вкинуті у двовимірний симплекс, у вершину цього симплексу дорівнює ймовірності переходу з барицентра множини вкинутих точок в ту ж вершину симплексу. Локальні координати барицентра системи n точок, вкинутих у двовимірний симплекс, за ймовірністю збігаються до локальних координат барицентра симплексу, якщо кількість точок системи необмежено зростає: Твердження доводиться на підставі закону великих чисел, за яким середнє арифметичне спостережених значень випадкової величини за ймовірністю збігається до її математичного сподівання. Як показали наші дослідження, випадкові блукання з багатьма стартами в мультиплексах мають парадоксальну з геометричної та аналітичної точки зору властивість, яка полягає в тому, що значення математичного сподівання перехідної ймовірності з кінця відрізка в даний вузол мультиплексу не співпадає з значенням перехідної ймовірності із барицентра цього відрізка в той же вузол мультиплексу (рис. Математичне сподівання перехідної ймовірності з кінця відрізка, вкладеного випадковим чином в двовимірний мультиплекс, у вершину цього мультиплексу дорівнює ймовірності переходу з барицентра вкладеного відрізка в ту ж вершину мультиплексу, якщо відрізок паралельний одній з сторін мультиплексу.Виконані дослідження в цілому започатковують розробку нового напрямку методів геометричного моделювання та сканування в окремих точках поверхонь (на прикладі гармонічних) шляхом усереднення результатів суперпозиції поверхонь, носіями яких є адаптивні інваріантні шаблони. Аналіз сучасних потреб практики прикладних досліджень показав дефіцит методів моделювання стаціонарних скалярних полів, які були б ефективними в задачах сканування поля в окремих точках; при пошуку оптимальних граничних умов серед множини можливих при сталій геометрії області; при дискретно заданих граничних умовах тощо. В роботі показано, що інваріантний шаблон є універсальним конструктивним засобом, який дозволяє на спільній методологічній основі розробити новий метод сканування стаціонарних скалярних полів в окремих точка та оптимізувати класичний метод скінченних елементів стосовно задачі відновлення неперервної квазігармонічної поверхні. Знайдені нові інтерпретації геометричної сутності складових виразів базисних функцій трикутних скінченних елементів лагранжевого типу дозволили запропонувати два власних методи безпосереднього ф