Аналіз методики побудови поліноміальних гексагональних базисних функцій за допомогою геометричного моделювання. Алгоритм перевірки базисних функцій на гармонічність через диференціальний критерій Лапласа та інтегральні коефіцієнти Кьобе й Привалова.
Аннотация к работе
Великий інтерес в плані наукових досліджень являє собою елемент в формі гексагона, який має ряд переваг у порівнянні з іншими елементами: дозволяє покривати область без пропусків і накладок; при застосуванні стільникової сітки для однієї і тієї ж конфігурації області необхідно менше вузлів, ніж при трикутній сітці; одна шестикутна комірка може замінити декілька трикутних, що дозволяє знизити розмірність задачі. На скінченному елементі (СЕ), в МСЕ, апроксимуюча функція задається локально, тому кожний елемент можна вважати ізольованим від системи і апроксимувати функцію на цьому елементі за допомогою його вузлових значень. Інтерполяційна гіпотеза типу Лагранжа, що повинна виконуватися для функції , полягає в тому, що апліката поверхні БФ повинна дорівнювати 1 у вузлі i елемента, і обертатися в нуль в інших вузлах. Формула (2) є досить змістовною: з точки зору геометрії базисні функції є аплікатами поверхні в будь-яких точках носія; з позицій методу Монте-Карло інтерполююче співвідношення (2) має вигляд математичного сподівання, де БФ відіграють роль перехідних ймовірностей в однокрокових схемах випадкових блукань по СЕ, що дуже важливо для методів типу Монте-Карло, т.б. інтерполяційний поліном на елементі - це середня винагорода за вихід блукаючої частинки у граничний вузол елемента. При побудові БФ СЕ третього порядку для проміжних вузлів, наприклад для функції , яка асоціюється з вузлом 4, поверхня третього порядку отримується в результаті композиції трьох площин, дві з яких проходять через точку (х4;у4;1) і сторони трикутника, до яких не належить вузол 4, а третя через точку (х4;у4;1) та вузли (х5;у5;0), (х10 ;у10;0), (х8;у8;0) .Значення для науки полягає у подальшому розвитку геометричних та комбінації геометричних, алгебраїчних та емпіричних методів побудови БФ. Значення для практики досліджень полягає в одержанні каталогу базисів для гексагонального СЕ, що дозволяє вирішувати питання оптимізації якісних і кількісних показників в конкретних задачах. Встановлено, що використання геометричного моделювання у поєднанні з аналітичними та експериментальними підходами дозволяє вирішити актуальну проблему побудови базисів для гексагонального елемента. Встановлено, що використання імовірнісно-геометричних та геометричних підходів дозволяє будувати раніше відомі і нові БФ на СЕ, уникаючи побудови і розвязання системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Встановлені імовірнісно-геометричні властивості аплікат базисної функції в цих опорних вузлах дозволяють керувати в розумних межах формою поверхні базисної функції.
В дисертації на основі проведених досліджень розвязана важлива науково-технічна задача побудови альтернативних гексагональних моделей на основі вдалого поєднання геометричного, алгебраїчного та експериментального методів.
Значення для науки полягає у подальшому розвитку геометричних та комбінації геометричних, алгебраїчних та емпіричних методів побудови БФ.
Значення для практики досліджень полягає в одержанні каталогу базисів для гексагонального СЕ, що дозволяє вирішувати питання оптимізації якісних і кількісних показників в конкретних задачах.
При цьому отримані результати, що мають науково-практичну цінність.
1. Встановлено, що використання геометричного моделювання у поєднанні з аналітичними та експериментальними підходами дозволяє вирішити актуальну проблему побудови базисів для гексагонального елемента. Графічна інформація, що отримана під час компютерної візуалізації, допомагає виявити переваги та недоліки сконструйованих геометричних моделей.
2. Отримали подальший розвиток геометричний та імовірнісно-геометричний методи побудови базисних функцій на скінченних елементах. Встановлено, що використання імовірнісно-геометричних та геометричних підходів дозволяє будувати раніше відомі і нові БФ на СЕ, уникаючи побудови і розвязання системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
3. Вперше створена методика побудови нових поліноміальних базисів гексагона, що заснована на конструктивному використанні спеціальних вузлів всередині носія. Встановлені імовірнісно-геометричні властивості аплікат базисної функції в цих опорних вузлах дозволяють керувати в розумних межах формою поверхні базисної функції.
4. Створено каталог альтернативних базисних функцій гексагона. Поєднання геометричних, алгебраїчних та експериментальних підходів дає можливість будувати альтернативні моделі. За допомогою усереднення альтернативних моделей вирішується питання оптимізації якісних та кількісних показників.
5. Вперше встановлено імовірнісний зміст інтегрального критерію гармонічності Кьобе, на основі якого сформульовані і розвязані нові імовірнісні задачі на квадратах з білінійною інтерполяцією, а саме отримання прискорених схем випадкових блукань в мультиплексу з багатьма стартами. Мова йде про випадкове вкладання геометричних обєктів (відрізка, n-кутника) в скінченний елемент, в цьому випадку вершини n-кутників розглядаються як точки старту одночасних випадкових блукань частинок. Ці дослідження виявили нові властивості білінійних функцій.
6. Побудовані нові моделі базисних функцій для призматичного тривимірного елемента з гексагональними перерізами з 12-ма вузлами та 18-ма вузлами.
Список литературы
1. Хомченко А.Н., Моисеенко С.В. Лагранжева модель потенциального поля // Научно-техн. журнал “Автоматика. Автоматизация. Электротехнические комплексы и системы”. - 2005. - №1(15). - С. 6 - 9.
2. Моисеенко С.В., Хомченко А.Н. Многочлены с нулевым средним и приближенное интегрирование // Вестник Херс. нац. техн. ун-та. - Херсон: ХНТУ, 2005. - №1(21). - С. 400 - 402.
3. Моисеенко С.В., Хомченко А.Н. Интерполяционная гипотеза Ньютона и базис Лагранжа // Вестник Херс. нац. техн. ун-та. - Херсон: ХНТУ, 2005. - №2(22). - С. 216 - 218.
4. Хомченко А.Н., Моисеенко C.B. Диагностика синтетических базисов гексагона // Інтелектуальні системи прийняття рішень та прикл. аспекти інфор. технологий: Зб. наук праць. - Євпаторія, 2005. - Т.3 - С. 160 - 162.
5. Хомченко А.Н., Моисеенко С.В. Квазигармонические базисы конечно-элементной интерполяции// Новые информационные технологии в учебных заведениях: Зб. праць Міжнар. конф. памяті проф. І.І. Мархеля. Одеса: Астропринт, 2005. - С.173 - 175.
6. Хомченко А.Н., Моисеенко С.В., Николаенко Ю.И. Моделирование полиномиального базиса гексагона // Питання прикладної математики і математичного моделювання: Зб. наук. праць. - Дніпропетровськ: ДНУ, 2006. - С. 242 - 249.
7. Моисеенко С.В. Неклассические базисы гексагона и правило центрального интегрирования // Геом. та компютерне моделювання. - Харків: ХДУХТ, 2006.- Вип.14. - С. 111 - 116.