Геометричні моделі для розв’язання за допомогою процедур барицентричного усереднення параметрів задач відновлення гармонічних функцій багатьох змінних. Задачі ієрархічного конструювання формул наближеного кратного інтегрування типу Ньютона-Котеса.
Аннотация к работе
До розвязання таких задач зводяться також дослідження екологічного стаціонарного стану території або дослідження продуктивності нафтогазових пластів, коли по даним вимірювання вздовж границі деякої області необхідно відновити інформацію всередині досліджуваної області. Розвиток МБУ, що став можливим виключно завдяки геометричному моделюванню, дає підґрунтя для використання процедур барицентричного усереднення і в інших задачах. Зокрема, геометричне моделювання породжує нові геометричні модифікації методу Монте-Карло: схеми несіткових блукань типу Брауна-Маллера для побудови вагових коефіцієнтів барицентричного усереднення в мішаних граничних задачах або схеми несиметричних випадкових блукань компютерного тестування вагових коефіцієнтів кубатур на центрованих дискретних елементах, для яких традиційні симетричні схеми не дають фізично правдоподібних результатів. Для досягнення поставленої мети дослідження вирішувались такі задачі: - побудувати геометричні моделі (шаблони) МБУ у вигляді трикутних дискретних елементів другого і третього порядку та гексагонального дискретного елемента; розробити на їх основі алгоритми розвязання задач відновлення гармонічних функцій; за допомогою імовірнісно-геометричного моделювання побудувати вагові коефіцієнти усереднення для нових шаблонів; Наукова новизна одержаних результатів: - вдосконалені геометричні моделі МБУ у вигляді трикутних дискретних елементів другого і третього порядку, що, на відміну від існуючої тривузлової моделі, враховують нелінійності досліджуваної функції в області з границею довільної форми; побудовано алгоритм розвязання задач відновлення гармонічних функцій за допомогою таких шаблонів; встановлено імовірнісно-геометричний зміст вагових коефіцієнтів розрахункових формул;Формула (6) забезпечує прискорені обчислення за однокроковою шестимаршрутною схемою блукань з апріорними перехідними імовірностями. Пятий розділ присвячено застосуванню геометричних моделей та барицентричних процедур до побудови кубатурних формул типу Ньютона-Котеса на дискретних елементах: , (8) де - дискретний елемент у n-вимірному евклідовому просторі; - вагові коефіцієнти; - вузли інтегрування (точки n-вимірного простору) на границі дискретного елемента. Під простими моделями ми розуміємо такі дискретні елементи і їх кубатурні формули: - дискретний елемент з єдиним вузлом, що знаходиться в центрі ваги (просторовий аналог формули центрального інтегрування) Модель наступного рівня - це дискретний елемент, що має вузол у центрі ваги і вузли у вершинах елемента. Щоб одержати кубатурну формулу для такого елемента, в роботі запропоновано зважування формул (11) і (12) відповідно до повузлової пропорційності, тобто з ваговими коефіцієнтами (n 1)/(n m 1) і m/(n m 1).В проведених у дисертації дослідженнях дістав подальшого розвитку метод барицентричного усереднення для задач, розвязання яких можна звести до визначення математичного сподівання (вибіркового середнього) випадкової величини. На основі дискретного аналога критерію Привалова запропонована версія МБУ, що використовує геометричні шаблони у вигляді трикутників другого і третього порядку та гексагони. В роботі показано, що для всіх процедур барицентричного усереднення зберігається властивість середнього завдяки вибору в якості вагових коефіцієнтів базисних функцій дискретних елементів. Завдяки використанню імовірнісно-геометричного моделювання в роботі вперше побудовані гексагональні моделі та формули МБУ для відновлення гармонічних функцій в областях з мішаними граничними умовами (І та ІІ роду), коли гранична інформація представлена дискретно та сконцентрована у розрахункових вузлах гексагона. Вперше побудовані однокрокові шестимаршрутні схеми випадкових блукань методу Монте-Карло для відновлення гармонічних функцій на гексагоні та проаналізовано ефективність альтернативних базисів гексагона в якості вагових коефіцієнтів МБУ (перехідних імовірностей в однокрокових шестимаршрутних схемах випадкових блукань).
Вывод
1. В проведених у дисертації дослідженнях дістав подальшого розвитку метод барицентричного усереднення для задач, розвязання яких можна звести до визначення математичного сподівання (вибіркового середнього) випадкової величини. На основі дискретного аналога критерію Привалова запропонована версія МБУ, що використовує геометричні шаблони у вигляді трикутників другого і третього порядку та гексагони. Такі геометричні моделі дозволяють відновлювати нелінійні гармонічні функції за допомогою лише одного дискретного елемента.
В роботі показано, що для всіх процедур барицентричного усереднення зберігається властивість середнього завдяки вибору в якості вагових коефіцієнтів базисних функцій дискретних елементів. Запропоновано імовірнісно-геометричний підхід до побудови вагових коефіцієнтів МБУ для трикутних дискретних елементів другого та третього порядку. Отримані вагові коефіцієнти повністю співпадають з вже відомими функціями форми цих елементів.
Завдяки використанню імовірнісно-геометричного моделювання в роботі вперше побудовані гексагональні моделі та формули МБУ для відновлення гармонічних функцій в областях з мішаними граничними умовами (І та ІІ роду), коли гранична інформація представлена дискретно та сконцентрована у розрахункових вузлах гексагона. На основі побудованих шаблонів розроблені алгоритми розвязання за допомогою МБУ задач відновлення гармонічних функцій.
2. В дисертації вперше показана ефективність застосування геометричних моделей та процедур барицентричного усереднення для побудови формул наближеного кратного інтегрування типу Ньютона-Котеса для центрованих дискретних елементів. За допомогою запропонованої ієрархічної схеми зваженого усереднення розроблено алгоритм та отримані альтернативні кубатури для центрованих дискретних елементів.
3. Вперше побудовані однокрокові шестимаршрутні схеми випадкових блукань методу Монте-Карло для відновлення гармонічних функцій на гексагоні та проаналізовано ефективність альтернативних базисів гексагона в якості вагових коефіцієнтів МБУ (перехідних імовірностей в однокрокових шестимаршрутних схемах випадкових блукань). Встановлено, що для задач відновлення гармонічних функцій з граничними умовами І роду точніші результати дає використання поліноміального базису, а в мішаних задачах (з граничними умовами І та ІІ роду) - дробово-раціонального та синтетичного базисів гексагона.
Для компютерного тестування спектрів вагових коефіцієнтів, отриманих в роботі кубатур на центрованих дискретних елементах, вперше запропоновано геометричну схему багатокрокових випадкових блукань методу Монте-Карло з областю переваги "слідкуючого" маршруту.
4. Практичне значення результатів дисертаційної роботи підтверджено впровадженням запропонованих методів і обчислювальних алгоритмів, а також розробленого на їх основі програмного забезпечення в ТОВ „Електромаш” (м. Херсон) та ВАТ „Херсонські комбайни” (м. Херсон) для проектних розрахунків температурних полів пластинчастих елементів різноманітної конфігурації в деталях механізмів, а також для розрахунків характеристик при крученні стержневих елементів різноманітного поперечного перерізу. Отримані в роботі результати використовуються в навчальному процесі в ХДТУ на лекційних та практичних заняттях для студентів ІІ курсу спеціальностей: "Фізична та біомедична електроніка”, "Компютерні системи та мережі", що підтверджено відповідним актом впровадження.
Список литературы
1. Хомченко А.Н., Цыбуленко О.В. Модели взвешенного усреднения и кубатурные формулы // Геометричне та компютерне моделювання. - Харків: ХДУХТ, 2002. - Вип.2. - С. 19-24.
2. Крючковський В.В., Цибуленко О.В. Спрощена побудова кубатур Ньютона-Котеса на дискретних елементах // Прикладна геометрія та інженерна графіка. - Мелітополь: ТДАТА, 2003. - Вип. 4, Т. 18.- С. 135-139.
3. Крючковський В.В., Хомченко А.Н., Цибуленко О.В. Геометрія випадкових маршрутів Монте-Карло на гексагоні // Прикладна геометрія та інженерна графіка. - Мелітополь: ТДАТА, 2003. - Вип.4, Т.19. - С. 36-39.
4. Цибуленко О.В., Лурє І.А. Компютерні оцінки стаціонарної температури шестикутної пластини // Прикладна геометрія та інженерна графіка. - Мелітополь: ТДАТА, 2003.-Вип.4, Т.20.-С.90-94.
5. Хомченко А.Н., Цыбуленко О.В., Дембровская М.В. Барицентрические оценки электростатического поля в круге // Научно техн. журнал "Автоматика. Автоматизация. Электротехнические комплексы и системы". -2003. - №1(11). - С.35-40.
6. Хомченко А.Н., Цыбуленко О.В., Лурье И.А. Метод барицентрического усреднения граничных потенциалов с квадратичной интерполяцией электростатического поля // Научно техн. журнал "Автоматика. Автоматизация. Электротехнические комплексы и системы". - 2003. - №2(12). - С. 46-48.
7. Зуб П.М., Хомченко А.Н., Цыбуленко О.В. Кубатуры Ньютона-Котеса для пространственных дискретных элементов // Геометричне та компютерне моделювання. - Харків: ХДУХТ, 2004. - Вип. 5. - С. 20-24.
8. Хомченко А.Н., Цыбуленко О.В., Колесникова Н.В. Компьютерные оценки квадратичной поправки МБУ в расчетах электростатического поля // Геометричне та компютерне моделювання. - Харків: ХДУХТ, 2004. -Вип. 6. - С. 9-13.
9. Хомченко А.Н., Цибуленко О.В. Про усереднення граничних сіткових функцій двох аргументів // Прикладна геометрія та інженерна графіка. - Мелітополь: ТДАТА, 2004. - Вип.4, Т.23. - С. 35-39.
11. Цыбуленко О.В. Полиномиальная аппроксимация решения задачи кручения // Вестник Херсонского госуд. технического университета. - Херсон: ХГТУ, 2002. - №2(15). - С.485-487.
12. Хомченко А.Н., Цибуленко О.В., Лурє І.А., Зичкова О.Е. Нові схеми випадкових блукань для еліптичних задач // Прикладні завдання математики та механіки: Матеріали ХІІ наук. Конф. Вчених України, Росії, Білорусії. - Севастополь: Вид-во СЕВНТУ, 2003. - С. 142-144.
13. Хомченко А.Н., Зуб П.М., Цибуленко О.В. Геометрія випадкових блукань у центрованих дискретних елементах // Сучасні проблеми геометричного моделювання: Матеріали Міжнар. наук.-практ. конф. - Львів: НУ "Львівська політехніка", 2003. - С. 104-106.
14. Хомченко А.Н., Цыбуленко О.В., Крючковский В.В. Нелинейные поправки в несеточных методах барицентрического усреднения // Тр. XVII междунар. научно-метод. конф. „Математика в вузе”.- СПБ.: ПГУПС, 2004. - С. 196-197.
В роботах [1] та [7] особисто автором побудовані кубатури на відповідно квадратному та кубічному дискретних елементах, проведена серія компютерних розрахунків для тестування отриманих альтернативних формул. В роботі [2] автором зроблено узагальнення ієрархічної схеми побудови кубатур на n-вимірні інтеграли, побудовано та тестовано кубатури для гіперкуба. В роботі [3] автором запропонована геометрична однокрокова схема для несіткових випадкових блукань на гексагоні, розроблено алгоритм та складена компютерна програма для проведення компютерних експериментів на мультикрокових схемах методу Монте-Карло. В роботі [4] автором особисто побудовані геометричні моделі і обчислювальні формули для розрахунку температурних полів на гексагональному дискретному елементі з мішаними граничними умовами (І та ІІ роду), побудовано алгоритм та складена програма компютерного тестування теоретичних формул, а також проведені обчислення. В роботі [5] автором проведені обчислення за допомогою гексагональної моделі МБУ для граничної задачі в крузі. В роботі [6] та [8] побудовано обчислювальні формули та алгоритми МБУ з квадратичними шаблонами для відповідно дво- та тривимірної граничної задачі. В роботі [9] особисто автором знайдені та візуалізовані за шістьма різними підходами до усереднення стаціонарні температурні поля на 8-вузловому квадратному елементі при дискретно поданій граничній інформації. В роботі [12] автором проаналізовано роль імовірнісно-геометричних підходів та окреслено нові перспективи розвитку МБУ. В роботі [13] особисто автором побудована геометрична схема несиметричних випадкових блукань методу Монте-Карло на квадраті, розроблено алгоритм та складена компютерна програма. В роботі [14] автором запропоновано використання шаблона МБУ у вигляді трикутника третього порядку з кубічною інтерполяцією.