Пошук інтегрованих Гамільтонових систем на орбітах скінченновимірних груп Лі. Квантова цілісна система типу узагальнених дзиг з симетріями. Комутативність квантових операторів, що відповідають комутуючим відносно дужки Лі-Пуасона інтегралам системи Тоди.
Аннотация к работе
В дисертаційній роботі досліджується взаємозвязок між теорією класичних інтегровних гамільтонових систем, геометрією їх фазового простору та теорією представлень груп та алгебр Лі. Отримані результати застосовуються для явного опису простору представлень класичних груп Лі, побудованого в рамках теорії геометричного квантування, та доведення інтегровності квантових аналогів деяких інтегровних систем класичної механіки. Інше застосування орбіти коприєднаного представлення (симплектичні листи дужки Лі-Пуасона) знайшли в такій області математичної фізики як геометричне квантування. Не дивлячись на бурхливий розвиток теорії інтегровних систем та геометричного квантування, в цих теоріях лишається ряд нерозвязаних проблем, що є актуальними і до сьогодні. Результати, що увійшли в дисертаційну роботу, були отримані в рамках планової наукової тематики відділу математичних методів в теоретичній фізиці Інституту теоретичної фізики НАН України (тема "Представлення квантових груп і калібрувальні інтегровні взаємодії", 1996-2000 рр.).Висвітлено хід розвитку теорії інтегровних систем, теорії представлень груп Лі у контексті теорії геометричного квантування, сформульовано проблему інтегровності квантових систем що мають класичні інтегровні аналоги. У першому розділі - детально досліджено геометрію вироджених та невироджених орбіт компактних груп Лі (фазових просторів гамільтонових динамічних систем) та знайдено їх локальну комплексну параметризацію, в термінах якої в другому розділі методом геометричного квантування побудовано реалізацію незвіднихпредставлень компактних груп. Використовуючи їх ми знаходимо простори січних лінійних розшарувань у локальній тривіалізації на підгрупі Z: Теорема 2.1 Простір голоморфних січних розшарування у локальній тривіалізації на підгрупі Z строго верхньо трикутних матриць співпадає з простором поліномів степеню не вище по мінорам складених з перших k стрічок матриці z Z. Таким чином, зоокрема, ми в явному вигляді знаходимо групи гармонійних форм: Теорема 2.3 Нехай G - компактна група Лі, - домінантна цілочисельна вага на підалгебрі Картана, - індуковане лінійне розшарування , - характер максимального тору продовжений до функції на Gc: де g=n(h)h(g)z(g) - розклад Гауса елемента g. Цей результат дозволяє довести квантову інтегровність механічних систем типу узагальнених дзиг без симетрій на деяких сильно-вироджених орбітах: Теорема 3.2 Нехай класична динамічна система типу рівнянь Ейлера-Арнольда з квадратичним твердотільним гамільтоніаном HA(X) обмежена на вироджені орбіти Odeg алгебр Лі типу1.У випадку компактних груп Лі побудовано комплексну параметризацію фазового простору (коприєднаної орбіти) та знайдено рівняння, що описують вироджені коприєднані орбіти як алгебраїчні підмноговиди у обємлючому лінійному просторі (відповідній алгебрі Лі).
План
2. Основний зміст
Вывод
1.У випадку компактних груп Лі побудовано комплексну параметризацію фазового простору (коприєднаної орбіти) та знайдено рівняння, що описують вироджені коприєднані орбіти як алгебраїчні підмноговиди у обємлючому лінійному просторі (відповідній алгебрі Лі).
2. Дано явний опис просторів січних лінійних розшарувань та їх вищих груп когомологій Дольбо, в яких реалізуються незвідні унітарні представлення компактних груп Лі, побудовані методом геометричного квантування.
3. Доведено теореми про інтегровність рівнянь Ейлера-Арнольда з квадратичним гамільтоніаном при обмеженні на вироджені орбіти та запропоновано новий підхід до пошуку інтегровних гамільтонових систем на орбітах скінченновимірних груп Лі.
4. Доведено квантову інтегровність систем типу узагальнених дзиг з симетріями, що дало змогу зконструювати новий, широкий клас підалгебр максимальної степені трансцендентності в універсальній огортуючій алгебрі.
5.Показано комутативність квантових операторів, що відповідають комутуючим відносно дужки Лі- Пуасона інтегралам "повного" потоку Тодина невироджених коприєднаних орбітах Борелівських підгруп.
Список литературы
1. Боярский А.М., Скрыпник Т.В. Сингулярные орбиты присоединенного представления групп Ли SO(n) // Усп. мат. наук.-1996.- Т.51, No.3- С. 56-57.
2. Боярський А.М., Скрипник Т.В. Вироджені орбіти ортогональних груп //Укр. мат. журн.- 1997.- т.49, No 7.- С. 895-906.
3. Holod P.I., Skrypnyk T.V. On geometric aspects of representation theory of classical compact Lie groups //Укр. фіз. журн.- 1998 .-v. 43, No 7.- P. 798- 802.
4. Голод П.І.,Скрипник Т.В. Явна реалізація незвідних представлень компактних груп Лі у просторах січних лінійних розшарувань //Укр. мат. журн.- 1998.- т. 50, No 10.- С. 1316-1324.
5. Скрипник Т.В. Коприєднані орбіти компактних груп та узагальнена стереографічна проекція//Укр. мат. журн. - 1999.- т.51, No 12.- С. 1714-1718.
6. Skrypnyk T. On a new class of the commutative subalgebras of the maximal Gelfand-Kirillov dimension in the universal enveloping algebra of a simple Lie algebra // Methods of functional analysis and Topology.- 1999.- v.5, No 3.- P. 77 -89.
7. Holod P.I., Skrypnyk T.V. "On geometric aspects of representation theory of classical compact Lie groups-II: Doulbeaut cohomology groups and intertwining operators."// Proceedings of the conference "Noneuclidean geometry in modern physics".- Uzhgorod (Ukraine).- 1997.- P. 64- 70.
8. Skrypnyk T.V. "Quantum integrability of the generalized Eulrs tops."" // Proceedings of the ІІІ conference "Symmetry in nonlinear mathematical physics ""- Kiev (Ukraine).- 1999.- P. 524- 529.