Особенности нахождения связи между величинами (функциями). Понятие, сущность, свойства и характерные особенности дифференциальных уравнений, а также анализ их разрешимости. Характеристика и методика решения задачи Дидоны, ее графическое изображение.
Аннотация к работе
Так как она в каждой своей точке (х, у) касается некоторой линии [значок С указывает то значение параметра С, при котором уравнение этой линии получается из общего уравнения (2)], то координаты ее точек удовлетворяют уравнению F(x, у, С(х, у)) =0, где теперь С уже не постоянно, но в каждой точке линии L принимает свой значение (именно равное тому С, которое соответствует линии ). Чтобы определяемые из обоих уравнений значения у" (определить у" из этих уравнений можно, если ) были одинаковы (т. е. чтобы в этой точке линия (2) и линия (3) имели общую касательную), необходимо, чтобы было . Один из них есть ?, как и ранее, и является произвольным, Так как весь интеграл должен исчезать, то обращается в нуль другой множитель, что приводит к дифференциальному уравнению: Возможно решить это уравнение после выполнения указанного дифференцирования, но оказывается проще сделать это сразу для уравнения (3). Получим: Это уравнение легко разрешить относительно ; получим в результате: откуда: Вычисление этого интеграла упрощается, если произвести замену переменного: при этом интеграл будет равен: Уравнения (4) и (5) определяют вместе искомую брахистохрону в функции вспомогательной переменной, или «параметра», ?. Среди гладких кривых Y = y(x), начинающихся в точке (а, А) и оканчивающихся на кривой L с уравнением Y= Ф(x), найти кривую наименьшей длины, т.е. найти расстояние от (а, А) до кривой L.Данная курсовая работа состоит из введения, основной части, заключения и списка использованной литературы.
План
Оглавление
Введение 3
Огибающие 5
Бархистохрона 9
Задача о брахистохроне с фиксированной абсциссой правого конца 13
Задача о расстоянии до кривой 14
Геодезические линии на кривой поверхности 16
Задача о геодезической линии 18
Задача о криволинейной трапеции с наибольшей площадью 19
Кривая провеса гибкой нерастяжимой нити 21
Поверхность вращения наименьшей площади 25
Задача Дидоны 29
Заключение 35
Список использованной литературы 36
Введение
Вывод
Данная курсовая работа состоит из введения, основной части, заключения и списка использованной литературы.
Целью курсовой работы являться рассмотрение геометрических задач и приведение их к дифференциальным уравнениям.
В ходе выполнения данной курсовой работы мы пришли к тому, что часть дифференциальных уравнений разрешимы явно, а часть уравнений явно неразрешимы.
Таким образом, из вышесказанного можно сделать вывод, что цель курсовой работы достигнута.
Список литературы
1. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1984. - 271 с.
2. Богданов Ю. С. Лекции по дифференциальным уравнениям. - Минск: Вышейшая школа, 1977. - 239 с.
3. Еругин Н. П., Штокало И. З., Бондаренко П. С. И др. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. - Киев: Вища школа, 1974. - 471 с.
4. Краснов М. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Высшая школа, 1983. - 128 с.
5. Матвеев Н. М. Дифференциальные уравнения: Учеб. Пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. - М.: Просвещение, 1988. - 256 с.
6. Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - Минск: Вышейшая школа, 1987. - 319 с.
7. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - Минск: Вышейшая школа, 1974. - 766 с.
8. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: 1952 Ленинград.
9. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1970. - 331 с.
10. Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения, примеры и задачи. - Киев: Вища школа, 1984. - 408 с.
11. Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. - М.: Наука, 1964. - 205 с.
12. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1972. - 724 с.
13. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1972. - 724 с.
14. Торнтон Фрай. Элементарный курс дифференциальных уравнений. - М.: 1933 Ленинград.
15. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1979. - 352 с.