Шар - геометрическое тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного. Касательная - плоскость, проходящая через точку шаровой поверхности перпендикулярная радиусу. Окружность - линия пересечения двух сфер.
Аннотация к работе
Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние радиусом шара. Так как ОХ не больше радиуса R шара, то О’Х? , т.е. любая точка сечения шара плоскостью находится от точки О’ на расстоянии, не большем , следовательно, она принадлежит кругу с центром О’ и радиусом . А это значит, что сечение шара плоскостью есть круг с центром в точке О’. Так как ОХ?R, то и ОХ’?R, т.е. точка, симметричная точке Х, принадлежит шару.
Введение
Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние радиусом шара.
Граница шара называется шаровой поверхностью, или сферой. Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также называемой радиусом.
Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности проходящей через центр шара, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.
Шар, также как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.
1. Сечение шара плоскостью
Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
Доказательство: Пусть - секущая плоскость и О - центр шара (рис. 1) Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость и обозначим через О’ основание этого перпендикуляра.
Рис. 1
Рис. 2
Пусть X - произвольная точка шара, принадлежащая плоскости . По теореме Пифагора ОХ2=ОО’2 О’Х2. Так как ОХ не больше радиуса R шара, то О’Х? , т.е. любая точка сечения шара плоскостью находится от точки О’ на расстоянии, не большем , следовательно, она принадлежит кругу с центром О’ и радиусом . Обратно: любая точка Х этого круга принадлежит шару. А это значит, что сечение шара плоскостью есть круг с центром в точке О’. Теорема доказана.
Площадь, проходящая через центр шара, называется диаметрально плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы - большой окружностью.
2. Симметрия шара
Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.
Доказательство: Пусть - диаметральная плоскость и Х - произвольная точка шара. Построим точку Х’, симметричную точке Х относительно плоскости . Плоскость перпендикулярна отрезку ХХ’ и пересекается ним в его середине (в точке А). Из равенства прямоугольных треугольников ОАХ и ОАХ’ следует, что ОХ’ =ОХ.
Так как ОХ?R, то и ОХ’?R, т.е. точка, симметричная точке Х, принадлежит шару. Первое утверждение теоремы доказано.
Пусть теперь Х’’ - точка, симметричная точке Х относительно центра шара. Тогда ОХ’’ = ОХ?R, т.е. точка Х’’ принадлежит шару. Теорема доказана полностью.. Касательная плоскость к шару
Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.
Рис. 4
Рис. 6
Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.
Доказательство: Пусть ? - плоскость касательная к шару, и А - точка касания. Возьмем произвольную точку Х плоскости ?, отличную от А. Так как ОА - перпендикуляр, а ОХ - наклонная, то ОХ > ОА = R. Следовательно, точка Х не принадлежит шару. Теорема доказана.
Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется касательной к шару в этой точке. Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.
4. Пересечение двух сфер
Линия пересечения двух сфер есть окружность.
Доказательство: Пусть О1 и О2 - центры сфер и А - их точка пересечения. Проведем через точку А плоскость ?, перпендикулярную прямой О1О2
Обозначим через В точку пересечения плоскости ? с ПРЯМОЙО1О2. Плоскость ? пересекает обе сферы по окружности К с центром В, проходящей через точку А. Таким образом, окружность К принадлежит пересечению сфер.
Покажем теперь, что сферы не имеют других точек пересечения, кроме точек окружности К. Проведем плоскость через точку Х и прямую О1О2 . Она пересечет сферы по окружностям с центрами О1 и О2 . Эти окружности пересекаются в двух точках, принадлежащих окружности К, да еще в точке Х. Но две окружности не могут иметь больше двух точек пересечения .Мы пришли к противоречию . Итак, пересечение наших сфер есть окружность. Теорема доказана. геометрический шар перпендикулярный