Понятие и алгоритм расчета геометрических характеристик плоских сечений. Определение площади и статических моментов сечения. Изменение моментов инерции сечения при повороте осей координат, их характер и принципы, обоснование, понятие о радиусе и эллипсе.
Аннотация к работе
К числу геометрических характеристик сечения, учитывающих его размеры, форму и влияющих на прочность и жесткость конструкций, относятся статические моменты, моменты инерции и моменты сопротивления сечения. Для самостоятельной проверки правильности, определения координат центра тяжести сложного сечения делается проверка, согласно которой вычисляются статические моменты всего сечения относительно осей , . Определяем значения главных центральных моментов инерции и , причем ось, относительно которой имеет место максимальный, главный центральный момент инерции, обозначаем буквой u (Imax=Iu), а ей перпендикулярную ось, относительно которой имеет место минимальный, главный центральный момент инерции, обозначаем буквой v (Imin=Iv). При построении эллипса инерции от центра тяжести сечения по осям u и v откладываем в масштабе чертежа величины iv и iu каждый соответственно перпендикулярно своей оси. Статическим моментом плоского сечения относительно некоторой оси называется, взятая по всей его площади А, сумма произведений площадей элементарных площадок DA на их расстояния от этой оси (рис.
План
Геометрические характеристики плоских сечений
Введение
геометрический сечение инерция координата
В расчетах конструкций на механическую надежность очень часто приходится оперировать такими характеристиками плоских фигур, как статический момент, осевой и полярный моменты инерции. Хотя вычисление вышеназванных геометрических характеристик относится к числу простейших задач интегрального исчисления, тем не менее, в силу их узкого прикладного значения они практически не рассматриваются во втузовском курсе высшей математики. По установившейся традиции геометрические характеристики плоских фигур изучаются в курсе сопротивления материалов.
Геометрические характеристики - числовые величины (параметры), определяющие размеры, форму, расположение поперечного сечения однородного по упругим свойствам деформируемого элемента конструкции (и, как следствие, характеризующие сопротивление элемента различным видам деформации)
При рассмотрении деформации растяжения, сжатия, сдвига было установлено, что прочность и жесткость элементов конструкций зависит только от величины поперечного сечения и свойств материала элементов. При деформациях кручения и изгиба, при расчетах сжатых стержней на устойчивость, прочность и жесткость элементов конструкции зависят также и от формы их поперечного сечения. К числу геометрических характеристик сечения, учитывающих его размеры, форму и влияющих на прочность и жесткость конструкций, относятся статические моменты, моменты инерции и моменты сопротивления сечения.
При анализе геометрических характеристик плоских сечений любой сложности важнейшей задачей является определение положения главных центральных осей, величин главных центральных моментов инерции и моментов сопротивления сечений.
Можно рекомендовать следующий порядок определения положения главных центральных осей, величин главных центральных моментов инерции и моментов сопротивления сложного профиля, состоящего из простых частей, характеристики которых либо известны, либо легко определяются.
1. Заданное сечение вычерчивается в определенном масштабе и разбивается на элементы геометрические характеристики которых представлены в сортаменте, либо могут быть вычислены по элементарным формулам, элементынумеруются, номера элементов указываются на чертеже.
2. Проводим прямоугольную систему осей z, y. Начальные оси могут задаваться произвольно. Однако, для упрощения вычислений удобно, если начальные оси проходят через центр тяжести одного или нескольких элементов сечения, на которые разбито заданное сечение. Все начальные размеры, необходимые для вычисления геометрических характеристик элементов и определения координат центров тяжестей элементов указываются на чертеже. Для прокатных профилей на чертеже сечения указываются необходимые для расчета размеры, взятые из таблиц проката.
3. Определяем координаты центров тяжести элементов сечения относительно начальных осей zc, yc. и геометрические характеристики сечений относительно собственных осей элементов Аі, , , . Собственные оси элементов - оси, параллельные начальным осям zc, yc. проходящие через центры тяжестей элементов сечения.
Замечание. Необходимо проявлять внимательность при определении координат центров тяжестей элементов сечения и их геометрических характеристик, так как ошибки, допущенные на этом этапе не имеют алгоритма проверки и приводят к ошибочным результатам при дальнейших вычислениях.
4. Определяем координаты центра тяжести всего сечения по формулам: ; .
Центральные оси х, у (оси проходящие через центр тяжести всего сечения), параллельные начальным осям показываются на чертеже.
Для самостоятельной проверки правильности, определения координат центра тяжести сложного сечения делается проверка, согласно которой вычисляются статические моменты всего сечения относительно осей , . Должны иметь место равенства и в пределах точности производимых вычислений.
5. Проводим систему центральных осей , , таким образом, чтобы наиболее просто можно было вычислить моменты инерции частей фигуры относительно этих осей. Для этого определяем моменты инерции частей фигуры относительно собственных центральных осей, проведенных параллельно осям , , используя при этом формулы перехода к параллельным осям (12). Суммируя, получаем значения , , .
6. Определяем координаты центров тяжести элементов сечения относительно центральных осей сечения: ; .
Замечание. Геометрические характеристики сечений, координаты центров тяжести сечений относительно начальных и центральных осей целесообразно оформить в виде таблицы (см. пример расчета), 7. Проводим контроль правильности определения координат центров тяжести сечения и его элементов. Для этого вычисляется статический момент сечения относительно центральных осей, которые при правильном расчете должны равняться нулю: ; .
Замечание. Все расчеты проводятся с ограниченной точностью. Инженерные расчеты, обычно, проводят с учетом 3 - 4 значащих цифр. Оставлять большее число значащих цифр нецелесообразно, так как исходные данные (исходные размеры и значения геометрических характеристик) не обеспечивают большую точность и поэтому результаты с большим числом значащих цифр нельзя считать более достоверными. Точность результата оценивают, обычно, относя невязку (разность между приближенным и точным значением) к точному или приближенному значению. Однако, если результатом вычислений должен быть ноль, такой подход невозможен. В этом случае отдельно подсчитывают положительные и отрицательные слагаемые и абсолютное значение невязки и относят невязку к сумме положительных (или отрицательных) слагаемых: .
Погрешность инженерных расчетов обычно не должна превышать 3%.
8. Определяем геометрические характеристики сечения - осевые, полярный и центробежный моменты инерции сечения относительно центральных осей
;
; ;
.
Заметим, что площадь, осевые и полярный моменты инерции являются строго положительными характеристиками сечений. Однако, для сечений с отверстиями бывает удобным считать отверстия элементами сечений с отрицательными характеристиками.
9. Определяем положение главных центральных осей. Положительный угол откладывается против хода часовой стрелки, отрицательный - по ходу часовой стрелки.
10. Определяем значения главных центральных моментов инерции и , причем ось, относительно которой имеет место максимальный, главный центральный момент инерции, обозначаем буквой u (Imax=Iu), а ей перпендикулярную ось, относительно которой имеет место минимальный, главный центральный момент инерции, обозначаем буквой v (Imin=Iv).
Для самостоятельного контроля правильности решения задачи на данном этапе делаются следующие проверки: а) Определяется центробежный момент инерции относительно главных центральных осей , который согласно определению должен быть равен нулю, Iuv=0. б) Также могут быть определены главные центральные моменты инерции сложного сечения Iu, Iv. в) Должно удовлетворяться равенство: .
11. Для определения моментов сопротивления сложного сечения необходимо определить точки, наиболее удаленные от главных центральных осей, координаты которых относительно главных центральных осей umax и vmax могут быть определены по формулам перехода к повернутым осям.
Для проверки, координаты точек, наиболее удаленных от главных центральных осей, могут быть определены и графически непосредственно с чертежа, выполненного в масштабе.
12. Для определения радиусов инерции производятся вычисления по формулам (18). При построении эллипса инерции от центра тяжести сечения по осям u и v откладываем в масштабе чертежа величины iv и iu каждый соответственно перпендикулярно своей оси. На этих отрезках, как на полуосях, строится эллипс инерции. Для проверки (или более точного построения эллипса инерции) могут быть отложены величины и .
2. Площадь плоских сечений
Площадь сечения является одной из геометрических характеристик, используемых, главным образом, в расчетах на растяжение и сжатие. При расчетах на кручение, изгиб, а также на устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: статические моменты, моменты инерции, моменты сопротивления и т.д.
Проектирование конструкций с оптимальными формами и размерами сечений является одним из путей снижения веса и стоимости машин и сооружений.
Площадь, ограниченная произвольной кривой, есть
(1)
Для вычисления геометрических характеристик сложных сечений, состоящих из простейших фигур, они разбиваются на конечное число n простейших частей. В этом случае
. (2)
Площадь является простейшей геометрической характеристикой сечения, имеет размерность L2. Отметим два важных свойства: площадь всегда положительна и не зависит от выбора системы координат.
Для сечений, составленных из профилей стандартного проката, площадь каждого профиля и остальные необходимые для расчетов размеры принимаются по таблицам ГОСТОВ на прокатную сталь.
При расчетах на изгиб, кручение, сложное сопротивление и устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: статические моменты, моменты инерции сечений, которые зависят не только от формы и размеров сечений, но также от положения осей и точек (полюсов), относительно которых они вычисляются.
3. Статические моменты сечения
Статическим моментом плоского сечения относительно некоторой оси называется, взятая по всей его площади А, сумма произведений площадей элементарных площадок DA на их расстояния от этой оси (рис. 4.1):
; (3)
(4)
(5) где yc - расстояние от центра тяжести всего плоского сечения до оси x; xc - расстояние от центра тяжести всего сечения до оси y.
Статический момент сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме статических моментов всех частей этого сечения относительно той же оси:
(6)
В формулах (6) введены обозначения: А1, А2, …, An - площади простых элементов, составляющих плоское сложное сечение; x1, y1, x2, y2, x3, y3, …, xn, yn - координаты центров тяжести простых составляющих сложного плоского сечения относительно выбранных осей х и у.
Из выражений (4) можно определить координаты центра тяжести плоского сечения: (7)
Для сложного поперечного сечения формулы (7) можно представить в следующем виде
(8)
Зависимости между статическими моментами одного и того же сечения относительно двух параллельных друг другу осей х и х1, а также у и у1 имеют вид: (9) где параметры a, b показаны на рис. 4.2.
Указания.
1. Изменение положительного направления оси у вызывает изменение знака статического момента Sx. Аналогично, изменение положительного направления оси х вызывает изменение знака статического момента Sy.
2. Статический момент сечения равен нулю относительно любой оси, проходящей через центр тяжести этого сечения.
3. Если плоское сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда проходит через центр тяжести плоского сечения, а поэтому, согласно п. 2, статический момент сечения относительно оси симметрии всегда равен нулю.
4. Если плоское сечение имеет две оси симметрии, то центр тяжести сечения лежит на пересечении этих осей симметрии.
Пример 1.
Определить статический момент полукруга радиусом R (рис. 4.3) относительно горизонтальной оси z, совпадающей с диаметром, и координату центра тяжести yc.
Решение.
По формуле (3) имеем . Выделим на рис. 4.3 на расстоянии y элементарную площадку DF с помощью двух хорд, параллельных оси z, на расстоянии dy друг от друга. Как следует из рис. 4.3
тогда и
Подставляя найденные значения y и DF в выражение Sz, получим
Координата центра тяжести сечения yc определяется по формуле (7):
Пример 2.
Определить положение центра тяжести неравнобокого уголка 160?100?10 (пренебрегая закруглениями его полок) относительно осей z и y, совпадающих с наружными сторонами контура (рис. 4.4). Найденные значения координат сравнить с табличными значениями по ГОСТ 8510-57.
Решение.
Пренебрегая загружением полок уголка, разбиваем фигуру на два прямоугольника, как показано на рис. 4.4. Для первого (1) прямоугольника
Для второго (2) прямоугольника
Координаты центра тяжести сечения определяем по формулам (8):
По данным сортамента с учетом закруглений координаты центра тяжести равны zc=2,28 см; yc=5,23 см.
Для проверки правильности вычислений определим статические моменты относительно центральных осей, которые должны быть равны нулю:
.
Графическая проверка: точка С должна находиться на отрезке С1С2.
4. Моменты инерции плоских сечений простой формы
В дополнение к статическим моментам в системе координат x0y рассмотрим три интегральных выражения:
(10)
Первые два интегральных выражения называются осевыми моментами инерции относительно осей x и y, а третье - центробежным моментом инерции сечения относительно осей x, y.
Для сечений, состоящих из n-числа областей (рис. 4.5), формулы (10) будут иметь вид:
Рассмотрим, как изменяются моменты инерции сечения при параллельном переносе координатных осей x и y (см. рис. 4.6). Преобразуя формулы (10), получим: (11)
Если предположить, что оси x1 и y1 (см. рис. 4.6) являются центральными, тогда и выражения (11) упрощаются и принимают вид:
(12)
Оси называются центральными, если они проходят через центр тяжести фигуры, т.е. статические моменты относительно этих осей равны нулю. Главными осями инерции фигуры называются оси относительно которых центробежный момент инерции равен нулю. Если фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось является главной осью.
Определим осевые моменты инерции прямоугольника относительно осей x и y, проходящих через его центр тяжести (рис. 4.6). В качестве элементарной площадки DA возьмем полоску шириной b и высотой dy (рис. 4.4). Тогда будем иметь:
Аналогичным образом можно установить, что .
Центробежный момент инерции сечения относительно осей, хотя бы одна из которых является осью симметрии, равен нулю.
Для систем, рассматриваемых в полярной системе координат (рис. 4.7, а), вводится также полярный момент инерции: . где - радиус-вектор точки тела в заданной полярной системе координат.
Вычислим полярный момент инерции круга радиуса R. На рис. 4.7, a показана элементарная площадка, очерченная двумя радиусами и двумя концентрическими поверхностями, площадью
.
Интегрирование по площади заменим двойным интегрированием: .
Найдем зависимость между полярным и осевыми моментами инерции для круга. Из геометрии видно (рис. 4.7, б), что , следовательно, .
Так как оси x и y для круга равнозначны, то .
Полярный момент инерции кольца может быть найден как разность моментов инерции двух кругов: наружного (радиусом R) и внутреннего (радиусом r): .
Размерность моментов инерции L4. Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным, равным нулю.
Для фигур, имеющих более двух осей симметрии, осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой. К таким фигурам относятся равносторонний треугольник, квадрат, круг и т.д.
5. Моменты инерции простых сечений
Вычислим моменты инерции простейших фигур.
Прямоугольник
Определим моменты инерции относительно осей, совпадающих со сторонами, и относительно центральных осей.
По определению
Элемент площади равен DA = bdy, следовательно .
По формуле , откуда, учитывая что А = bh, yc = 0,5h, находим
.
Аналогично получим и .
Треугольник
Момент инерции относительно оси х, совпадающей с основанием, .
Но DA = b(y) dy, b(y) = (b/h) (h-y).
Следовательно, .
По формуле параллельного переноса , откуда
.
Круг
Для любых центральных осей , поэтому .
Как известно, полярный момент инерции круга равен .
Следовательно, .
Кольцо ( ).
Момент инерции относительно оси (рис. 4.11) можно определить как разность моментов инерции наружного и внутреннего круга: .
Для тонкого кольца существует приближенная формула , где dcp - средний диаметр, t - толщина кольца.
6. Моменты инерции сечений сложной формы
Момент инерции сечения сложной формы относительно некоторой оси равен сумме моментов инерций его составных частей относительно той же оси: , (13) что непосредственно следует из свойств определенного интеграла. Таким образом, для вычисления момента инерции сложной фигуры надо разбить ее на ряд простых фигур, вычислить моменты инерции этих фигур, а затем просуммировать их.
Пример 3.
Определить момент инерции сечения, показанного на рис. 4.12, относительно оси симметрии, a=10 см.
Решение.
Разбиваем заданное сечение на простейшие элементы: I - Равнобедренный треугольник, II - прямоугольник, III - круг.
Момент инерции сложной фигуры относительно оси z согласно формуле (13): .
Определяем моменты инерции слагаемых простейших элементов: Для равнобедренного треугольника: ;
для прямоугольника согласно формуле: ;
для круга согласно формуле: .
Окончательно получим: Iz=4,0a4 10,67a4-0,0491a4=14,6a4=14,6?104=1,46?105 см4.
Пример 4.
Определить момент инерции симметричного сечения, показанного на рис. 4.13, относительно вертикальной оси симметрии y. Двутавр №10 (ГОСТ 8239-56). Швеллер №5 (ГОСТ 8240-56).
Решение.
Разбиваем исходное сечение на простейшие элементы, моменты инерций которых приводятся в справочниках: I - двутавр, II и III - швеллеры.
По сортаменту на стандартные прокатные профили имеем: Для двутавра №10 (ГОСТ 8239-56): H=10 см, B=7 см, F=14,2 см2, Ix=244 см4, Iy=35,3 см4.
Для швеллера №5 (ГОСТ 8240-56): h=5 см, b=3,7 см, F=6,90 см2, Ix=26,1 см4, Iy=8,41 см4, x0=1,35 см.
Момент инерции сечения относительно оси y согласно (13)
т.к. оба швеллера расположены идентично относительно оси y.
Для двутавра .
Для швеллера сортам.=26,1 см4.
Окончательно имеем: .
7. Изменение моментов инерции сечения при повороте осей координат
Найдем зависимость между моментами инерции относительно осей х, у и моментами инерции относительно осей х1, у1, повернутых на угол . Пусть Jx > Jy и положительный угол отсчитывается от оси х против часовой стрелки. Пусть координаты точки М до поворота - x, y, после поворота - x1, y1 (рис. 4.14).
Из рисунка следует:
Теперь определим моменты инерции относительно осей х1 и у1:
или . (14)
Аналогично: . (15)
(16)
Сложив почленно уравнения (14), (15), получим: , т.е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей остается постоянной и не изменяется при повороте системы координат.
Пример 5.
Найти моменты инерции прямоугольника (рис. 4.15) относительно осей и и центробежный момент его относительно тех же осей.
Решение.
Центральные оси у и z как оси симметрии будут главными осями; моменты инерции сечения относительно этих осей равны:
Центральные моменты относительно повернутых осей и равны:
Центробежный момент инерции относительно осей и равен:
Координаты центра тяжести прямоугольника относительно осей и равны:
Моменты инерции относительно осей и равны:
Центробежный момент инерции равен:
8. Главные оси инерции и главные моменты инерции
С изменением угла поворота осей каждая из величин и меняется, а сумма их остается неизменной. Следовательно, существует такое значение , при котором моменты инерции достигают экстремальных значений, т.е. один из моментов инерции достигает своего максимального значения, в то время другой момент инерции принимает минимальное значение. Для нахождения значения возьмем первую производную от (или ) и приравняем ее нулю: , или , откуда
. (17)
Покажем, что относительно полученных осей центробежный момент инерции равен нулю. Для этого приравняем правую часть уравнения (16) нулю: ,
откуда
, т.е. получили ту же формулу для .
Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения называются главными осями. Если эти оси являются также и центральными, то они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.
Обозначим главные оси через и . Тогда , , .
Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда является одной из главных центральных осей инерции сечения.
В литературе главные оси иногда обозначаются через и .
Главные моменты инерции и могут быть также определены по формулам:
При повороте осей координат удовлетворяется следующее равенство:
Моменты сопротивления относительно главных центральных осей u и v могут быть подсчитаны по формулам:
где , - координаты точек сечения, наиболее удаленных от главных центральных осей u и v. Эти координаты можно вычислить, используя связь между координатами в повернутых на угол осях по формулам:
9. Понятие о радиусе и эллипсе инерции сечения
Радиусом инерции плоской фигуры относительно какой-либо оси, называется длина перпендикуляра, отсчитываемая от этой оси и вычисляемая по формуле:
(18)
После определения моментов инерции относительно главных осей можно построить эллипс инерции - это эллипс, полуоси которого равны радиусам инерции относительно главных осей. Радиус инерции откладывается вдоль главной оси , а - вдоль оси (рис. 4.16). Построение эллипса инерции удобно использовать для анализа правильности определения моментов инерции. Эллипс инерции должен быть вытянут в том направлении, в котором вытянута фигура.
Пример 6.
Определить радиусы инерции для сечения неравнобедренного уголка 160?100?10 (рис. 4.17). Построить эллипс инерции этого сечения.
Решение.
Осевые радиусы инерций сечения определяются по формулам:
Fуголка №16/10 =25,3 см2
Построенный эллипс инерции показан на рис. 4.17.
10. Статические моменты сечения. Центр масс сечения
Статическим моментом сечения S относительно любой оси называется взятая по всей площади сечения сумма произведений площадей элементарных площадок на их расстояние до этой оси. Так, статический момент сечения (рис. 1) относительно оси z: , (1) где Ai - площадь элементарной i- й площадки сечения, расположенной на расстоянии yi от оси z; n - число элементарных площадок сечения. При Ai > 0 (DA) и n > ?
. (2)
Размерность статических моментов - длина в кубе. Статические моменты могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.
Считая, что поверхностная плотность ?* сечения постоянна, координаты центра масс сечения zc, усможно выразить через статические моменты
, (3) аналогично
, (4)
где mi - массы элементарных площадок сечения; М - масса сечения; А - площадь сечения; Sz и Sy - соответственно статические моменты сечения относительно координатных осей z и y.
Из выражений (3) и (4) видно, что при yc = 0; zc = 0, т.е. при прохождении координатных осей через центр масс С, статические моменты сечения относительно этих осей будут равны нулю, так как А ? 0. Такие координатные оси называют центральными. Это следствие можно выразить еще так: если статические моменты сечения относительно координатных осей равны нулю, т.е. Sz = 0, Sy = 0, то эти оси z, y проходят через центр масс сечения C.
11. Моменты инерции сечений
Полярным моментом инерции сечения называется взятая по всей площади сечения сумма произведений площадей элементарных площадок на квадрат их расстояния до данного полюса (точки). Из рис. 1
, (5) где ? - расстояние от площадки DA до полюса (точки 0).
Рис. 1 и 2
Осевым моментом инерции сечения называется взятая по всей площади сечения сумма произведений площадей элементарных площадок на квадрат их расстояния до оси. Так, моменты инерции сечения относительно координатных осей z и y будут соответственно равны
, (5)
. (6)
Так как ?2 = z2 y2, сравнив выражения (5), (6) и (7), получим
I? = Iz Iy, (7) т.е. сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции этого сечения относительно точки пересечения рассматриваемых осей. Моменты инерции сечений - всегда положительные величины.
12. Моменты инерции прямоугольника, круга
Моменты инерции сечений вычисляются в следующей последовательности. Вначале находят момент инерции элементарной площадки DA относительно точки или оси. Считая, что число таких площадок стремится к бесконечности, далее вычисляют сумму моментов инерции площадок по всему сечению. Чаще всего детали типа стержней имеют форму поперечного сечения в виде круга или прямоугольника.
Вычислим момент инерции прямоугольника (рис. 2, а) с основанием b и высотой h относительно оси z, проходящей через центр масс параллельно основанию. За элементарную площадку DA примем площадь бесконечно тонкого слоя DA = bdy. Тогда . (8)
Аналогично получим
Iy = hb3/12. (9)
Рассмотрим круг. Сначала определим полярный момент инерции круга относительно геометрического центра С: .
За элементарную площадку DA примем площадь бесконечно тонкого кольца толщиной d?: DA = 2??d?. Тогда . (10)
Найдем моменты инерции круга относительно координатных осей y, z, проходящих через центр МАССС. Так как оси являются диаметром круга, то Iy = Iz. Поэтому выражение (5.38) можно представить как I?=2 Iy = 2 Iz, откуда
Iy = Iz = I?/2 ? 0,05 d4. (11)
Для кольца моменты инерции равны разности моментов инерции внешнего и внутреннего кругов с диаметрами соответственно d и d1.