Геометрія сфери евклідова простору - Курсовая работа

Ще стародавні елліни вважали коло та сферу ідеальними формами. А так як планети, Сонце, Місяць та зірки рухаються по уявній "небесній сфері", то обовязковими для вивчення їх руху необхідні були знання сферичної геометрії. В процесі розвязання завдань практичного характеру і, в першу чергу, завдань з астрономії виникла сферична геометрія. Земні ж ділянки великих розмірів (довжиною в сотні і тисячі кілометрів) вже не можна вважати плоскими і тому для дослідження таких ділянок потрібна саме сферична геометрія. Дані про сферу були необхідні і при вирішенні звичайних завдань - обчисленні географічних координат, для складання географічних карт, для знаходження курсу корабля.Першою за часом геометрією, відмінною від евклідової, була сферична геометрія, або сферика, як її називали стародавні жителі. Основними мотивами для виникнення геометрії площини і простору була необхідність вимірювання площі полів та інших плоских фігур а також місткості посудин і комор різної форми, тобто обємів різних тіл. Основним мотивом для виникнення сферики було вивчення зоряного неба. Стародавні греки познайомилися з вавилонською астрономією принаймні в IV ст. до н. е., коли початкові назви планет були замінені назвами за вавилонським зразком, латинськими перекладами яких є загальноприйняті нами назви. Астрономія, викладена в "Альмагесті" Птолемея, була результатом розвитку науки протягом кількох століть, яка увібрала традиції як вавилонських астрономів, так і грецьких геометрів.Сферою називається геометричне місце точок простору, розташованих на даній відстані від даної точки, що називається її центром. Відрізок, що сполучає центр сфери з якою-небудь його точкою, називається радіусом сфери. Відрізок, що сполучає дві точки сфери і проходить через її центр, називається діаметром. Площина, що проходить через центр сфери, називається діаметральної площиною. Нарешті, так як три площини, що перетинаються в одній точці, ділять простір на вісім областей, то три великі кола, які не перетинаються в одній точці, ділять сферу на вісім областей (на рис.5) зображені вісім областей ABC, ABC?, AB?C, A?BC, AB?C?, A?BC?, A?B?C, A?B?C?, на які ділять сферу великі кола AB, AC и BC, причому точкиЯкщо точки А і В діаметрально протилежні на сфері, існує нескінченне число великих кіл, що проходять через ці дві точки, причому ці дві точки ділять кожне таке велике коло на два півкола, які є сферичними відрізками, що зєднують точки А і В (рис.7).Кожному великому колу відповідають дві діаметрально протилежні точки сфери, що відрізаються з нього діаметром, перпендикулярним до площини великого кола. Очевидно, що кожним двом діаметрально протилежним точкам А і В на сфері відповідає єдине велике коло, для якого точки А і В є полюсами; це велике коло називається полярой пари діаметрально протилежних точок А і В.Сферичним багатокутником називається частина сфери, обмежена дугами великих кіл, меншими півкола, кінцями яких служать точки перетину цих великих кіл, взятих у послідовному порядку. Сферичний багатокутник називається опуклим, якщо він розташований по одну сторону від кожного з більших кіл, частиною яких служать його сторони; в іншому випадку він називається неопуклим. У випадку, коли багатокутник опуклий, кожне велике коло, частиною якого служить сторона багатокутника, ділить сферу на дві півсфери, з яких одна містить увесь многокутник; загальна область R всіх таких півсфер, які містять даний багатокутник, і буде внутрішньою областю багатокутника (рис. Сферичний двокутник - фігура, утворена двома півколами великих кіл сфери, що виходять із діаметрально протилежних точок (рис.11).Серед усіх сферичних багатокутників найбільший інтерес представляє сферичний трикутник. Сферичним трикутником називається частина поверхні сфери, що обмежена трьома попарно сполученими дугами великих кіл (рис.13). Сферичний трикутник ABC має шість основних елементів: три кути Сферичні трикутники мають висоти, медіани та бісектриси, означення яких аналогічні означенням цих елементів у плоскій геометрії. A сферичного трикутника ABC називається дуга AL великого кола, що ділить цей кут навпіл.Площа сферичної фігури, за аналогією з площею плоскої фігури, має такі властивості: 1) площа сферичної фігури є додатнім числом (властивість позитивності); 3) якщо сферична фігура розкладена на дві сферичні фігури, то площа даної фігури дорівнює сумі площ двох фігур, на які вона поділена (властивість адитивності), 4) площа всієї поверхні сфери радіуса R дорівнює 4PR2 (властивість нормування). З властивості адитивності, інваріантності та нормування випливає, що якщо розділити сферу на n рівних двокутників (рис.14), то площа кожного з них (тобто площа двокутника з кутом ) дорівнює . Тому площа двокутника з кутом , складеного з m розглянутих двокутників, дорівнює , а якщо кут деякого двокутника більше і менше , то площа цього двокутника знаходиться між і (це випливає з першої і третьої властивості площі).

Зміст

Вступ

Розділ 1. Історична довідка

Розділ 2. Основні поняття сферичної геометрії

2.1 Сфера, велике і мале кола

2.2 Сферичний відрізок

2.3 Полюс і поляра

2.4 Багатокутники на сфері

2.5 Сферичний трикутник

2.6 Площа сферичного трикутника

2.7 Сферична теорема синусів та косинусів

2.7.1 Теорема конусів

2.7.2 Теорема синусів

Розділ 3. Відстань між и на земній кулі

3.1 Звязок між географічними і сферичними координатами

3.2 Формула відстані через сферичні координати

3.3 Розвязання сферичних трикутників

Висновок

Список використаних джерел