Побудова моделей, які точно наближаються до описання фізичних процесів утворення та розповсюдження хвиль в рідинах під впливом локальних неоднорідностей. Закономірності поверхневої чи інтерфейсної хвильової картини залежно від параметрів моделі.
Аннотация к работе
Наявність локалізованих неоднорідностей в рідинах різної фізичної природи приводить до генерації поверхневих та внутрішніх хвиль різних типів в залежності від геометричних параметрів самих неоднорідностей та фізичних властивостей розглядуваних рідин. В рамках класичної хвильової теорії більша частина робіт попередників присвячена дослідженню лінійних задач генерації хвиль неоднорідностями, за останні десятиліття появився ряд робіт, присвячених дослідженню нелінійних задач хвилеутворення внаслідок наявності неоднорідностей, зокрема, неоднорідного дна. Деякі аспекти досліджень, що мають відношення як до класичної теорії хвильових процесів, так і до генерації хвиль неоднорідностями, та повязані з тематикою даної роботи, відображені в роботах М.Є. Метою даної роботі є побудова фізико-математичних моделей, які якомога точніше наближаються до описання фізичних процесів утворення та розповсюдження хвиль в рідинах під впливом локальних неоднорідностей; узагальнення вже відомих моделей на випадки рідин різної фізичної природи; постановка на основі цих моделей відповідних математичних задач; отримання точних аналітичних чи наближених асимптотичних розвязків; встановлення закономірностей поверхневої чи інтерфейсної хвильової картини в залежності від параметрів моделі. Проведено узагальнення нелінійної моделі генерації хвиль локальною неоднорідністю в рідині скінченої глибини для випадку двошарової рідини з неоднорідністю на поверхні розділу двох рідин.У розділі 2, що складається з чотирьох підрозділів, розглянуто ряд плоских нелінійних задач, в яких досліджується вплив наявності локальних неоднорідностей на генерацію поверхневих хвиль в рідині скінченої глибини та магнітній рідині. Постановка задачі в безрозмірному вигляді включає в себе рівняння Лапласа для потенціалу швидкостей та нелінійні граничні умови на дні та вільній поверхні. Неоднорідність вважається локальною в асимптотичному смислі, всі члени в рівняннях, повязані з неоднорідністю, мають порядок . В третьому підрозділі вперше робиться постановка задачі про розповсюдження поверхневих гравітаційних хвиль в магнітній рідині з донною неоднорідністю без набігаючого потоку, що є узагальненням моделі генерації поверхневих хвиль локальними неоднорідностями в рідині скінченої глибини. Постановка задачі включає в себе рівняння Лапласа для потенціалу швидкостей рідини, потенціалу магнітного поля всередині рідини та потенціалу зовнішнього магнітного поля, граничні умови на вільній поверхні та на дні рідини, умови спряження для магнітних потенціалів та умову спадання на нескінченості для потенціалу зовнішнього магнітного поля.В даній дисертаційній роботі в рамках лінійної та нелінійної хвильової теорії хвильових процесів проведено дослідження впливу локальних неоднорідностей на процеси генерації та поширення внутрішніх та поверхневих хвиль в рідинах різної фізичної природи, серед них магнітна рідина та багатошарові рідини. Основні результати роботи такі: В рамках нелінійної хвильової теорії дано постановки плоских задач, що моделюють процеси генерації поверхневих гравітаційних хвиль набіганням потоку на локальну неоднорідність на дні та під вільною поверхнею рідини скінченої глибини. Вперше зроблено узагальнення даної нелінійної моделі генерації хвиль локальними неоднорідностями на випадок генерації поверхневих гравітаційних хвиль локальною донною неоднорідністю в магнітній рідині. Для тривимірного випадку дано постановки лінійних задач про генерацію поверхневих гравітаційних хвиль набіганням однорідного потоку на локальні неоднорідності, в якості яких виступають одиничний точковий виток та система з двох витоків в рідині скінченої глибини. Аналіз отриманих в роботі результатів дозволив зробити такі висновки: Проведений аналіз залежності стаціонарних солітонних розвязків збуреного еволюційного рівняння Кортевега-де Вріза, яке описує еволюцію вільної поверхні рідини, отриманого в результаті розвязування плоскої задачі про генерацію поверхневих нелінійно-дисперсійних хвиль набіганням однорідного потоку на локальну донну неоднорідність в одношаровій рідині скінченої глибини, від фізичних параметрів задачі, які визначають амплітуду збурюючої неоднорідності та збурення швидкості однорідного набігаючого потоку відносно критичної, виявив існування двох режимів генерації солітонних хвиль - режиму наявності однієї хвильової моди та двомодового режиму.
План
Основний зміст роботи
Вывод
В даній дисертаційній роботі в рамках лінійної та нелінійної хвильової теорії хвильових процесів проведено дослідження впливу локальних неоднорідностей на процеси генерації та поширення внутрішніх та поверхневих хвиль в рідинах різної фізичної природи, серед них магнітна рідина та багатошарові рідини.
Основні результати роботи такі: В рамках нелінійної хвильової теорії дано постановки плоских задач, що моделюють процеси генерації поверхневих гравітаційних хвиль набіганням потоку на локальну неоднорідність на дні та під вільною поверхнею рідини скінченої глибини. Вперше зроблено узагальнення даної нелінійної моделі генерації хвиль локальними неоднорідностями на випадок генерації поверхневих гравітаційних хвиль локальною донною неоднорідністю в магнітній рідині. В якості граничного випадку, що дозволяє оцінити вплив магнітного поля на хвильові процеси, розглянуто лінійну плоску задачу про поширення поверхневих гравітаційних хвиль в магнітній рідині. Для тривимірного випадку дано постановки лінійних задач про генерацію поверхневих гравітаційних хвиль набіганням однорідного потоку на локальні неоднорідності, в якості яких виступають одиничний точковий виток та система з двох витоків в рідині скінченої глибини. Розглянуто плоскі задачі, в яких досліджується вплив багатошаровості рідин на генерацію та поширення внутрішніх та поверхневих локальними неоднорідностями. Для оцінки впливу параметрів багатошарової рідини розглянуто плоску лінійну задачу про поширення внутрішніх хвиль в тришаровій рідині. Зроблено узагальнення моделі генерації нелінійних хвиль набіганням потоку на локальну неоднорідність в рідині скінченої глибини для випадку локальної неоднорідності, розташованої на поверхні розділу двох рідин.
За допомогою асимптотичного редукційного методу в рамках теорії довгохвильового наближення, запропонованого S.Shen; методу степеневих рядів; методу мультипольних розкладів; асимптотико-евристичного методу отримано розвязки відповідних нелінійних та лінійних задач, виведено деякі еволюційні рівняння.
На основі отриманих точних аналітичних та наближених асимптотичних розвязків поставлених задач та їх чисельної реалізації на ПК досліджено вплив параметрів неоднорідностей та параметрів рідин різної фізичної природи на генерацію та поширення внутрішніх та поверхневих хвиль.
Аналіз отриманих в роботі результатів дозволив зробити такі висновки: Проведений аналіз залежності стаціонарних солітонних розвязків збуреного еволюційного рівняння Кортевега-де Вріза, яке описує еволюцію вільної поверхні рідини, отриманого в результаті розвязування плоскої задачі про генерацію поверхневих нелінійно-дисперсійних хвиль набіганням однорідного потоку на локальну донну неоднорідність в одношаровій рідині скінченої глибини, від фізичних параметрів задачі, які визначають амплітуду збурюючої неоднорідності та збурення швидкості однорідного набігаючого потоку відносно критичної, виявив існування двох режимів генерації солітонних хвиль - режиму наявності однієї хвильової моди та двомодового режиму. Крім того, виявлено, що при двомодовому режимі при збільшенні амплітуди збурення амплітуда однієї солітонної хвилі спадає, а іншої - зростає до тих пір, поки вони не зливаються в один солітон, амплітуда якого спадає при зростанні локального збурення. При збільшенні збурюючої компоненти швидкості зростає амплітуда та зменшується ширина солітона як в одномодовому, так і в двомодовому режимі.
В результаті узагальнення попередньої задачі на випадок набігання однорідного потоку на неоднорідність, що розташована під вільною поверхнею рідини скінченої глибини, було виведено аналогічне еволюційне рівняння та отримано його стаціонарні солітонні розвязки, що вказує на те, що в рамках даного асимптотичного підходу та при даному способі локалізації неоднорідності є несуттєвим вплив її місцезнаходження на поверхневу хвильову картину.
При розвязанні нової задачі про генерацію поверхневих гравітаційних хвиль над локальною донною неоднорідністю в рідині, що намагнічується, яка узагальнює попередню модель на випадок магнітної рідини, виведено модифіковане еволюційне збурене рівняння типу Кортевега-де Вріза в інтегро-диференційному вигляді, в якому присутні члени, що відповідають як за наявність неоднорідності, така і за вплив магнітного поля. Можна зробити висновок про те, що наявність магнітного поля значно посилює вплив неоднорідності на генерацію хвиль та ускладнює розвязання задачі. Розглянуті граничні випадки еволюційних рівнянь підтверджують достовірність результату.
Для граничного випадку - лінеаризованої задачі про поширення поверхневих хвиль в магнітній рідині скінченої глибини без неоднорідності виведено дисперсійне співвідношення та еволюційне рівняння. Проведений аналіз залежності фазової та групової швидкостей магнітної рідини від впливу магнітних параметрів рідини виявив, що як фазова, так і групова швидкості зростають при збільшенні магнітного поля. Для деяких проміжків коротких довжин хвиль групова швидкість приймає відємні значення.
При аналізі лінійних тривимірних задач про генерацію поверхневих хвиль набіганням однорідного потоку на один виток та систему із двох точкових витоків виявлено режими досягання максимумів та мінімумів відхилення вільної поверхні в залежності від відстані між витоками для кожного з розглянутих чисел Фруда, що задають швидкість набігаючого потоку. Зокрема, для малих відстаней між витоками максимум досягається за системою з двох витоків, при збільшенні відстані між витоками максимум досягається між витоками і зміщується в напрямку від першого витоку до другого при подальшому зростанні відстані.
Детальний математичний та чисельний аналіз задачі про поширення гармонічних хвиль в тришаровий рідині дозволив виявити залежність фазової та групової швидкостей рідини від співвідношення густин досліджуваних рідин, а саме зростання значень як фазової, так і групової швидкостей при збільшенні густини нижнього шару. Також виявлено, що на деякому проміжку коротких довжин хвиль групова швидкість приймає відємні значення.
Аналіз стаціонарних солітонних розвязків збуреного еволюційного рівняння Кортевега-де-Вріза, що відображають форму вільної поверхні рідини при узагальненні моделі генерації хвиль локальними неоднорідностями на випадок двошарової рідини показує, що збільшення кількості параметрів моделі тепер, на відміну від одношарової рідини, приводить до наявності двох критичних швидкостей набігаючого потоку, для кожної з яких існує дві хвильових моди - швидка та повільна. Для кожної з цих мод в залежності від параметрів моделі, серед яких суттєвою є амплітуда збурення, можуть існувати режим наявності однієї солітонної хвилі, режим двох солітонів різної амплітуди та режим наявності здвоєного солітона. При зменшенні відношення густин, тобто при збільшенні густини нижнього шару у кожному з наборів параметрів для швидкої моди спадають амплітуди як здвоєного солітона, так і поодинокої хвилі, для повільної моди відбувається перехід від режиму одної солітонної хвилі до режиму двох поодиноких хвиль, амплітуди яких зростають.
На основі загальної теорії хвильових рухів та теорії мілкої води побудовано точні та наближені асимптотичні розвязки ряду задач генерації та поширення хвиль в рідинах під впливом локальних неоднорідностей. Після проведеного аналізу аналітичних та чисельних розвязків виявлено характер впливу самої наявності неоднорідностей та їх параметрів, а також фізичних параметрів досліджуваних рідин на зміну форми вільної поверхні та швидкісні характеристики хвильових процесів. Також знайдено нові режими утворення солітонних хвиль в залежності від вищезгаданих параметрів.
Отримані результати можуть застосовуватись для подальших узагальнень та створення теоретичної бази для експериментів, причому особливо цікавими є випадки магнітної рідини та багатошарових рідин. Достовірність результатів забезпечується використанням адекватних моделей, коректністю постановок задач та відповідністю деяких граничних випадків відомим результатам.
Список литературы
Мирончук М.В., Звонарева О.В., Щепец Н.Н. Распространение поверхностных волн в жидкости и в упругой оболочке, заполненной жидкостью// Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Киев: Ин-т математики НАНУ. 1998. С. 156-159.
Selezov I.T., Mironchuk M.V., Huq P. Evolution equation for waves forced by a slender obstacle in a two-layer fluid// Доповіді НАН України. 1999. №4. С. 77-82.
Селезов И.Т., Мирончук М.В. Распространение внутренних волн в трехслойной жидкости// Теоретическая и прикладная механика. Харьков: Основа. 1999. вып. 30. С. 170-174.
Селезов И.Т., Мирончук М.В. Распространение волн в слое магнитной жидкости // Теоретическая и прикладная механика. Харьков: Основа. 2000. вып. 31. С. 157-161.
Zvonareva O.V., Fateeva I.V., Mironchuk M. V. Investigation of wave generation and propagation on the basis of integral transform// Тез. докладов укр. конф."Моделирование и исследование устойчивости систем " (прикладная механика). Киев. 1996. С. 62.
Selezov I.T., Korsunsky S.V., Mironchuk M.V. The effect of localized inhomogeneity on nonlinear wave propagation in magnetic fluid layer// Proc. of 8-th International Conf. Of Magnetic Fluid. Timisoara, Romania. 1998. P. 355 - 356.
Selezov I., Huq P., Mironchuk M. Evolution equation for waves forced by a thin obstacle in a two-layer fluid // Proc. 27-th Israel Mechanical Engineering Conf. Haifa, Israel. 1998. P. 325-326.
Мирончук М.В. Поширення поверхневих гравітаційних хвиль в рідині скінченої глибини // 7-а Міжнародна конф. ім. акад. М. Кравчука. Київ. 1998. С. 335.
Мирончук М.В., Щепец Н.Н. Распространение поверхностных волн, генерируемых источником и подвижной донной поверхностью // Материалы III Научной школы “Импульсные процессы в механике сплошных сред”. Николаев. 1999. С. 44.