Означення та приклади застосування гармонічних функцій. Субгармонічні функції та їх деякі властивості. Розв’язок задачі Діріхле з використанням функції Гріна. Теореми зростання та спадання функції регулярної в нескінченній області (Фрагмена-Ліндельофа).
Аннотация к работе
Загальні відомості про гармонічні функції 1.1 Означення гармонічних функцій 1.2 Властивості гармонічних функцій, виражені теоремами 2. Субгармонічні функції та їх деякі властивості 3. Задача Діріхле 3.1 Поняття про задачу Діріхле 3.2 Функція Гріна задачі Діріхле 4. Загальні відомості про гармонічні функцій 1.1 Означення гармонічних функцій Гармонічною в області D функцією називається дійсна функція двох дійсних змінних, що має в цій області неперервні частинні похідні другого порядку і задовольняє диференціальному рівнянню ( - символ диференціального оператора, його називають оператором Лапласа). Але тоді функції u(x,y) і v(x,y) мають на D неперервні частинні похідні будь-якого порядку, а перші похідні задовольняють умовам Коші - Рімана (Д’Аламбера - Ейлера): з яких слідує Додавши ці рівності отримують: (1.1) Ліву частину рівняння (1.1) позначають символом Рівняння зазвичай називають рівнянням Лапласа. Так як функція визначається своїми частинними похідними з точністю до сталого доданка, то сукупність всіх гармонічних функцій, спряжених з , дає формула , (1.3) де С - довільна (дійсна) стала.