Понятие числовой функции. Определение числовой последовательности как числовой функции на множестве натуральных чисел. Исследование функций на четность и нечетность. Поиск нулей и промежутков, понятие метода интервалов. Промежутки возрастания функции.
Аннотация к работе
На тему: "Функция: основные понятие и свойства.Пусть задано числовое множество Если каждому числу поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на множестве D задана числовая функция: y = f (x), Множество D называется областью определения функции и обозначается D (f (x)). Число соответствующее значению называют значением функции в точке и обозначают или Для того чтобы задать функцию f, нужно указать: 1) ее область определения D (f (x)) Если же значения этих функций совпадают лишь на некотором множестве и то говорят, что функции равны на множестве Так, например, функции f = 1 и равны на всем множестве , а функции и g = x равны на множестве Пусть функции y = g (x) и z = f (y) определены на множествах D и E соответственно, причем множество значений функции f содержится в области определения функции g. Тогда функция, принимающая при каждом значение f (g (x)), называется сложной функций или суперпозицией функций f и g и обозначается Так, функция z = sin (x - 1) является суперпозицией функций y = x - 1 и z = sin y.Функция f (x) называется четной, если для любого выполняются равенства: 1) , 2) f (-x) = f (x). Примерами четных функций могут служить y = cos x, y = |x|, y = x2 |x|. числовой функция четность интервал Функция f (x) называется нечетной, если для любого выполняются равенства: 1) , 2) f (-x) =-f (x). Иными словами функция называется нечетной, если ее график на всей области определения симметричен относительно начала координат. Если область определения функции симметрична относительно начала координат, то эту функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.Рассмотрим вопрос о нахождении нулей функции и промежутков, где функция сохраняет знак. На показанном на рисунке графике функции y = f (x) видно, что эта функция имеет три нуля: x1, x2, x3. Для нахождения нулей функции нужно решить уравнение f (x) = 0, а для нахождения промежутков знакопостоянства нужно решить неравенства f (x) > 0 и f (x) <0.Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 <x2, выполняется неравенство f (x1) <f (x2). Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 f (x2). На показанном на рисунке графике функция y = f (x), возрастает на каждом из промежутков [a; x1) и (x2; b] и убывает на промежутке (x1; x2). Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке. · Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f c также возрастают, а функция cf (c <0) убывает.