Определение числовой последовательности и ее предела. Свойства сходящихся последовательностей. Предел функции одной переменной. Основные правила вычисления пределов. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции и их классификации.
Аннотация к работе
Свойства сходящихся последовательностейA называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ? > 0 существует ? > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x - a| 0 ) (? = ? (?) > 0 ) (x0 - ? 0 ) (? = ? (?) > 0 ) (x0< x <x0 ?) : | f (x) - В | <? Левый и правый пределы функции в данной точке условно записывают как Последовательность с бесконечным пределом назыв. бесконечно большой. Например, функция у = х2 непрерывна на (-, ), а функция у = 1/х непрерывна на каждом из двух промежутков: (-, 0), (0, ) Функция у = f(х) называется непрерывной на отрезке [а,b], если она непрерывна на интервале (а, b) и непрерывна в точке а справа и в точке b слева. Свойства функций, непрерывных в точке: 1)если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то их алгебраическая сумма f(x)±g(x), произведение f(x)*g(x) и частное f(x)/g(x) (при условии g(x)?0) явл. функциями, непрерывными в точке x0;2)если функция y=f(x) непрерывна в точке x0 и f(x)>0, то сущ.такая окрестность точки x0, в которой f(x)>0;3)если функция y=f(u) непрерывна в точке u0, а функция u=?(x) непрерывна в точке x0, ?(x0)=u0, то сложная функция y=f(?(x)) непрерывна в очке x0; или , т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу. Функция называется непрерывной на промежутке (отрезке), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка (отрезка) Точка является точкой разрыва функции, если функция определена и непрерывна в окрестности точки , а в самой точке не явл. непрерывной (хотя может быть определенной). Функция y=f(x) имеет максимум в точке , если ее значение в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторой окрестности, содержащей точку Функция y=f(x) имеет минимум в точке , если ее значение в этой точке меньше, чем ее значения во всех точках некоторой окрестности, содержащей точку .