Построение объектов, изоморфных данным алгебраическим структурам. Решетки конгруэнций Ламбека по простым идеалам. Теоремы об изоморфизме и свойства пучковых представлений. Функциональные пучки Ламбека и Корниша для ограниченных дистрибутивных решеток.
Аннотация к работе
Все алгебраические объекты имеют абстрактную природу, их невозможно ни изобразить, ни визуализировать каким либо другим образом. Поэтому одной из важнейших задач алгебры является задача представления, заключающаяся в построении объектов иной природы, изоморфных данным алгебраическим структурам. Примерами могут служить: · Теорема Кэли о вложимости произвольной группы в некоторую симметрическую группу, результат об изоморфизме алгебры линейных операторов n-мерного векторного пространства и алгебры матриц n n над тем же полем; · Теорема Стоуна об изоморфизме конечной булевой алгебры и решетки всех подмножеств некоторого конечного множества;Алгебраическая система называется решеткой, если выполняются: аксиомы идемпотентности Решетка называется дистрибутивной, если Решетка называется ограниченной, если в существуют 0 и 1, нейтральные элементы по сложению ( ) и умножению () соответственно. Бинарное отношение ~ в решетке называется конгруэнцией, если выполняются свойства: 1) ~ является отношением рефлексивности, симметричности и транзитивности; 2) ~ сохраняет операции: Множество всех классов конгруэнтности с операциями образует решетку, называемую фактор-решеткой решетки по конгруэнции ~. Для некоторого простого идеала решетки и отношение называется конгруэнцией Ламбека по простому идеалу решетки .Пусть дано множество X. Система его подмножеств называется топологией на X, если выполнены следующие условия: 1. Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих , принадлежит , то есть если , то . Пересечение конечного семейства множеств, принадлежащих , принадлежит , то есть если , то . Множества, принадлежащие , называются открытыми множествами.Тройка называется пучком решеток, если выполняются следующие условия: 1) топологические пространства; Решетка называется слоем пучка в точке . Пространства и называются накрывающим и базисным пространствами соответственно. Сечение над открытым подмножеством называется локальным, а сечение, определенное над всем пространством - глобальным. В случае рассмотрения сечений над всем базисным пространством , говорят о глобальных сечениях, которые в совокупности образуют решетку глобальных сечений пучка над .Рассматривая пример 5, можно заметить, что построенные пучки не только гомоморфны, а изоморфны исходным решеткам.Необходимо показать, что для любых элементов множество открыто в . Необходимо показать, что для любых элементов множество открыто в . Рассмотрим отображение f, которое элементу ставит в соответствие глобальное сечение , такое, что , где класс элемента l в фактор-полукольце . В силу факторности пучка сечение в каждой точке совпадает с некоторым сечением вида . По свойствам пучка эти сечения совпадают на некоторой базисной окрестности точки , а компактность простого спектра позволяет выбрать элементы так, что на и .
План
Оглавление
Вступление 3
1. Основные определения 4
1.1 Решетка 4
1.2 Топологическое пространство 10
1.3 Функциональный пучок 13
2. Функциональные представления дистрибутивных решеток 25
2.1 Теоремы об изоморфизме 25
2.2 Свойства пучковых представлений 30
Литература 33
Список литературы
1. Вечтомов Е.М. Аннуляторные характеризации булевых колец и булевых решеток // Матем. заметки. - 1993. Т. 53, вып. 2. - С. 15-24.
2. Вечтомов Е.М. Дистрибутивные решетки, функционально представимые цепями // Фундам. и прикл. матем. - 1996. - 2, N 1. C. 93-102.
3. Вечтомов Е.М. Функциональные представления колец. М.: Мос. пед. гос. ун-т, 1993.
4. Гретцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982.
5. Ламбек И. Кольца и модули. - М.: Мир, 1971.
6. Общая алгебра. Т. 2. // Под ред. Л.А.Скорнякова - М.: Наука, 1991.