Понятие функции двух и более переменных, ее предел и непрерывность. Частные производные первого и высших порядков. Определение полного дифференциала. Необходимые и достаточные условия существования экстремума и его нахождение на условном множестве.
Аннотация к работе
В данной лекции рассматриваются функции двух переменных, так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных. Пару чисел иногда называют точкой , а функцию двух переменных - функцией точки . Совокупность всех точек , в которых определена функция , называется областью определения этой функции. Для функции двух переменных область определения представляет собой всю координатную плоскость или ее часть, ограниченную одной или несколькими линиями. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) имеет конечный предел ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е.Частные производные и называют частными производными первого порядка или первыми частными производными. Частными производными второго порядка функции называются частные производные от частных производных первого порядка. Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков. Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными.Точка называется точкой минимума (максимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство , (). Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - экстремумами функции (минимумом и максимумом соответственно). Заметим, что минимум и максимум функции имеют локальный характер, так как значение функции в точке сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к . В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Тогда, если , то функция в точке имеет экстремум: максимум, если А0; если , то функция в точке экстремума не имеет.В теории функций нескольких переменных иногда возникают задачи, когда экстремум функции нескольких переменных необходимо найти не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию. Пусть - функция двух переменных, аргументы x и y которой удовлетворяют условию , называемому уравнением связи. Точка называется точкой условного минимума (максимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство , (). Если уравнение связи можно разрешить относительно одной из переменных (например, выразить y через x: ), то задача отыскания условного экстремума функции двух переменных сводится к нахождению экстремума функции одной переменной. Из уравнения связи находим функцию и подставляем ее в функцию z.
План
Содержание
1. Понятие функции двух и более переменных
2. Предел и непрерывность функции двух переменных
3. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал
4. Частные производные высших порядков
5. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума
6. Условный экстремум
Литература
1. Понятие функции двух и более переменных
Список литературы
1. Белько И. В., Кузьмич К. К. Высшая математика для экономистов. I семестр: Экспресс-курс. - М.: Новое знание, 2002. - 140 с.
2. Гусак А. А.. Математический анализ и дифференциальные уравнения.- Мн.: ТЕТРАСИСТЕМС, 1998. - 416 с.
3. Гусак А. А.. Высшая математика. Учебное пособие для студентов вузов в 2-х томах. - Мн., 1998. - 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).
4. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н. Ш. Кремера.- М.: ЮНИТИ, 2002. - 471 с.
5. Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.- Мн.: Выш. шк., 2000. - 351 с.