Розв’язання функціональних рівнянь на локально компактних абелевих групах у класі нормованих неперервних додатно визначених функцій. Теорії двоїстості Понтрягіна. Розподіл незалежності суми та різниці двох випадкових величин. Коефіцієнт лінійних форм.
Аннотация к работе
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наукРобота виконана у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Фельдман Геннадій Михайлович, Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Харків, завідувач кафедри теорії функцій і функціонального аналізу кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Синельщиков Сергій Дмитрович, Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Захист відбудеться 19.12.2005 року о 14 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур ім.У дисертації вивчаються розвязки деяких функціональних рівнянь на локально компактних абелевих групах у класах нормованих неперервних додатно визначених функцій. Такі функціональні рівняння виникають природнім чином у різних розділах теорії ймовірностей, зокрема, у арифметиці розподілів та характеризаційних задачах, тобто задачах, у яких опис можливих розподілів випадкових величин випливає з властивостей деяких функцій від цих величин. До теперішнього часу багато розділів теорії ймовірностей було перенесено на різноманітні алгебраїчні структури (див., наприклад, монографії У.Гренандера, К.Р.Партасараті, Е.Хеннана, Х.Хейера, Г.М.Фельдмана), а в останні роки значно посилився інтерес до характеризаційних задач в ситуації, коли випадкові величини приймають значення у локально компактних абелевих групах, групах Лі, квантових групах, симетричних просторах (див., наприклад, статті А.Л.Рухіна, Г.М.Фельдмана, Р.Г.Лаха, Я.Баришнікова, Б.Ейзенберга та В.Стадьє, Д.Ноєншвандера, Б.Ройнетта та Р.Шотта, У.Франца, Д.Ноєншвандера та Р.Шотта, П.Грачика та Ж.-Ж.Лоеба). Виявилося, що якщо випадкові величини приймають значення у локально компактній абелевій групі, то ті чи інші властивості групи повністю визначаються можливістю доведення на групі відповідної характеризаційної теореми, а отже і можливістю описати розвязки відповідного функціонального рівняння. У дисертації вивчаються розвязки трьох функціональних рівнянь на локально компактних абелевих групах у класах нормованих неперервних додатно означених функцій, що виникають у задачах характеризації розподілів незалежністю суми та різниці двох випадкових величин (функціональне рівняння Бернштейна), незалежністю лінійних форм від n незалежних випадкових величин (функціональне рівняння Скитовича-Дармуа) та симетрією умовного розподілу однієї лінійної форми при фіксованій іншій (функціональне рівняння Хейде).Функція на групі Y називається характеристичною, якщо для деякого розподілу на групі X. Останній результат використовується потім для опису усіх локально компактних сепарабельних абелевих метричних груп Y, на яких усі розвязки рівняння Бернштейна є такими, що кожна функція має вигляд добутку характеристичних функцій гауссівського та ідемпотентного розподілів (групи, компонента звязності груп характерів яких не містить елементів порядку 2). Приймаючи до уваги класичну теорему Бернштейна та роботу Я.Баришнікова, Б.Ейзенберга, В.Стадьє для групи , наша теорема дає повний опис розвязків рівняння Бернштейна у класі нормованих неперервних додатно визначених функцій на усіх групах Y, групи характерів яких є звязними локально компактними абелевими групами вимірності 1. Фельдманом було доведене наступне твердження: для того щоб усі розвязки рівняння Скитовича-Дармуа були такі, що кожна функція є характеристичною функцією гауссівського розподілу, необхідно і достатньо, щоб група характерів групи Y не містила підгрупи, що топологічно ізоморфна одновимірному тору . Крім того, було також доведено, що якщо функції , які не обертаються на нуль, задовольняють рівнянню Скитовича-Дармуа на групі Y, то розвязання рівняння Скитовича-Дармуа на групі Y зводиться до його розвязання на фактор-групі Y/Y0, де Y0 ? підгрупа групи Y, що складається з усіх компактних елементів.