Применение формулы Грина к решению задач. Понятие ротора векторного поля. Вывод формулы Грина из формулы Стокса и ее доказательство. Определение непрерывно дифференцируемых функций. Применение формулы Грина для вычисления криволинейного интеграла.
Аннотация к работе
Джордж Грин (George Green, 1793 - 1841) - английский математик и физик, самостоятельно изучил математику и лишь в 1837 окончил Кембриджский университет. Он ввел понятие и термин “потенциала”, Опираясь на найденное им соотношение между интегралом по объему и интегралом по поверхности, ограничивающей этот объем (формула Грина), развил теорию электричества и магнетизма. Актуальность исследования: в ходе выполнения курсовой работы, могу отметить, что формула Грина применяется в решении разных задач, не только в математике, но и физике. К сожалению, в учебном курсе формуле Грина отводится не много времени. Цель курсовой работы: ознакомится с теоретическими сведениями по теме «Формула Грина», рассмотреть ее применение в решение задач на примерах.Ориентация контура называется положительной, если при обходе (соответствующего возрастанию параметра) контура , область остается слева (такой обход обычно называется обходом контура против часовой стрелки), в противном случае - отрицательным. Формулировка: Пусть C - положительно ориентированная кусочно-гладкая замкнутая кривая на плоскости, а D - область, ограниченная кривой C. Если функции P = P(x,y), Q = Q(x,y) определены в области D и имеют непрерывные частные производные , , то На символе интеграла часто рисуют окружность, чтобы подчеркнуть, что кривая С замкнута. Пусть область D - криволинейная трапеция (область, цилиндрическая в направлении OY): Для кривой C, ограничивающей область D зададим направление обхода по часовой стрелке.Формулу Грина можно записать также в векторной форме. Ротором или вихрем векторного поля называется вектор, обозначаемый или и равныйТогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность ?, ограниченную контуром: или в координатной записи: Вывод из теоремы Стокса: Рассмотрим дифференциальную форму .На сколько отличаются друг от друга криволинейные интегралы где AMB - отрезок прямой, соединяющий точки А=(1, 1) и В=(2, 6), ANB - дуга параболы с вертикальной осью, проходящей через те же точки А, В и начало координат? формула грин криволинейный интеграл Решение: Уравнение параболы, проходящей через начало координат и точки А, В, имеет вид а разность I2 I1 является криволинейным интегралом по замкнутому контуру ANBMA, ограничивающему область и пробегаемому в положительном направлении, в силу чего можем применить формулу Грина: Следовательно, I1 - I2=2. Решение: На сегменте [0, а] подынтегральное выражение равно нулю, поэтому интеграл кривой AMO равен интегралу по замкнутому контуру АМОА, состоящему из кривой AMO и сегмента [0, а], ограничивающему область D = в силу чего могу применить формулу Грина: Задача 4. Решение: Интеграл по кривой AMB представлю в виде суммы интегралов по замкнутому контуру AMBA и по отрезку АВ. Решение: Если контур ? не окружает начало координат, то применив формулу Грина, получу: Если контур ? окружает начало координат, то применять формулу Грина нельзя, поскольку область D в этом случае неодносвязна.В данной курсовой работе я рассмотрела формулу Грина и смежные понятия, мною были подобраны и разобраны упражнения по данной теме. При выполнении данной курсовой работы были решены, поставлены задачи и выполнено следующее: 1.
План
Содержание
Введение
1. Формула Грина и ее доказательство
2. Формула Грина в векторной форме.
3. Вывод формулы Грина из формулы Стокса
4. Применение формулы Грина
Заключение
Список использованной литературы:
Вывод
В данной курсовой работе я рассмотрела формулу Грина и смежные понятия, мною были подобраны и разобраны упражнения по данной теме. Подводя итог курсовой работы можно сказать, что поставленная цель достигнута.
При выполнении данной курсовой работы были решены, поставлены задачи и выполнено следующее: 1. Выполнен анализ литературы по теме исследования.
2. Выделены основные теоретические понятия, используемые в работе.
3. Изучены основные способы решения задач.
4. Подобраны и решены задачи по данной теме.
Список литературы
1. Демидович Б.П. сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб.пособие. - 13-е изд., испр. - М.: Изд-во Моск. Ун-та, ЧЕРО, 1997. - 624с.
2. Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу. - М.: Высшая школа, 1966.
3. Зорич В. А. Математический анализ. Часть II. М.: Наука, 1984. 640 с.
4. Камынин Л. И. Курс математического анализа (в двух томах). М.: Издательство Московского Университета, 2001.
5. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. - М.: Мир, 1971.
6. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т.1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды. Учебник. - 3-е изд., перераб. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 400 с.
7. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.III. М., Наука, 1956.- 656 стр. с ил.