Формирование прочных навыков усвоения решения задач с параметрами - Дипломная работа

В школьных учебниках практически нет заданий на эту тему, потому что школьная программа охватывает узкий круг вопросов, делая основной упор не на логику решения задач. Учащимся предлагалось решить уравнение с параметром не выше второй степени a(a 3)x2 (2a 6)x-3a-9=0 . Результаты решения представлены в диаграмме: Овладение же методикой решения уравнений с параметрами очень полезно: оно существенно повышает уровень математической подготовки учащихся, позволяет чуть по-новому, как бы изнутри, взглянуть на такие «банальные» функциональные зависимости, подробно анализируемые школьной программой, как, к примеру, линейные и квадратные многочлены. Брадиса: «Представляется совершенно необходимым, чтобы учащиеся проводили исследование (то есть ставили вопрос о существовании решения, о числе решений, об особых случаях, какие могут представляться) при решении каждой задачи, особенно такой, какая ставится в общем виде (содержит параметры)». Примерами задач с параметрами являются задачи такого типа: «Определить площадь правильного треугольника со стороной а см.». данная задача является задачей с одним параметром. При решении задач с параметрическими данными составлением уравнения получаем уравнение с параметрическими данными, то есть уравнение, коэффициенты которого содержат параметры или функции от параметров.Решение: (первого примера) Установим, какие числовые значения могут иметь неизвестное х и параметр с на основе производимых в уравнении действий. Подобные вопросы необходимо ставить при решении каждого из уравнений и задач с параметрическими данными. Приведем к данному уравнению ряд вопросов, которые могут быть предложены и при решении других уравнений с параметрическими данными (не обязательно всех вопросов одновременно для каждого уравнения): 1)Заполнить следующую таблицу: c-3-2,5-2-1,5-1-0,5 0 0,5 1 x=2c 3)Определить по формуле решения х=2с, при каких значениях параметра уравнение имеет решением число 0.(положительное, отрицательное число). После решения задачи можно предложить еще и дополнительные вопросы для решения: 1)Заполнить таблицу а 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90° х=90°-а 2)Определить по составленной таблице, как изменяется второй угол, прилежащий к гипотенузе, при возрастании (убывании) первого угла, прилежащего к гипотенузе.Определить все значения параметра а, при которых уравнение имеет один корень, два корня, не имеет корней. Определить все значения параметра а, при которых уравнение 2ах2-4(а 1)х 4а 1=0 имеет один корень. Более того, если a3-2a2?0, то есть а?0 и а?2, данное уравнение имеет два корня; при этом всегда имеется корень, удовлетворяющий неравенству 0<x<1. При каких значениях параметра а уравнение x2-2 (a-3)x a2-3a 2=0 имеет решение? Возможны 3 случая, не считая случая отсутствия корней: оба корня меньше А; один корень меньше А, а другой больше А; оба корня больше А.Так как уравнения с параметрами не выше второй степени являются самыми распространенными в практике итоговых и конкурсных заданий, определим их общую структуру и выделим основные их типы. Контрольные значения параметра определяются уравнением f(a)=0 и уравнением D=0. На выделенных контрольными значениями промежутках допустимых значений параметра дискриминант D имеет определенный знак, соответствующие частные уравнения принадлежат одному из двух последних типов. Тогда решение всякого уравнения с параметром не выше второй степени осуществляется по следующим этапам: 1)На числовой прямой отмечаются все контрольные значения параметра, для которых соответствующие частные уравнения не определены. Если уравнение f(a)=0 имеет конечное множество решений, то для каждого найденного контрольного значения параметра соответствующее частное уравнение решается отдельно.Техника работы с квадратным трехчленом, основные идеи, связанные с квадратным трехчленом, играют важную роль при решении задач с параметрами. Поэтому очень важно в таких задачах выделять этапы решения, которые помогут прийти к какому-либо выводу. Итак, необходимо выполнить 4 этапа: 1) Знакомство с условием задачи; На данном этапе желательно рассмотреть объекты, которые фигурируют в уравнении (здесь требуется рассмотреть одночлены, степень неизвестного и тому подобное). Выбор метода и возможность его применения увидеть не всегда удается, ибо требуется видоизменить уравнение, получить новые следствия из условия, применить известные теоретические положения, учесть индивидуальные особенности уравнения, вспомнить аналогичные задания, проявить догадку.Выясните, имеет ли корни уравнение при заданном значении а: 4х-а=4х 4 при а=-2. Выясните имеет ли корни уравнение при заданном значении а: 5х а=4х 1 при а=3. Преобразуя данное уравнение, получим х=1-а. подставим значение а в уравнение х=1-3; х=-2. Найдите число а такое, чтобы уравнение 5х-4=3х а имело корень х=1. Преобразуя данное уравнение, получим 2х-4=а. подставим значение х в уравнение: 2*1-4=а; а=-2.Найдите все значения параметра а, при каждом из которых число-3 является единственным корнем уравнения а2х 6а=4х-12. Найдите вс

Содержание

I. Введение

II. Методика работы с задачами, содержащими параметры.

II.1. Знакомство с задачами, содержащими параметрические данные через решение линейных уравнений в 7 классе.

II.2. Введение понятия задачи с параметрическими данными на материале линейных уравнений в 7 классе

II.3. Последовательность упражнений на решение уравнений и задач с параметрами в 7 классе

II.4. Типы квадратных уравнений с параметрами

II.5. Общая классификация задач по их типу

II.6. Этапы работы над задачей с параметром.

III. Система упражнений для отработки навыков решения задач с параметрами

III.1. Классификация задач на решение линейных уравнений с параметром

1.1 Решение линейных уравнений в зависимости от установленных значений параметра

1.2. Поиск решения линейных уравнений в зависимости от установленных значений параметра

1.3. Решение линейных уравнений с параметрами с дополнительными данными в условии задачи

1.4. Тренировочные упражнения

1.5. Графическая иллюстрация решения уравнений с параметрам

1.6. Линейные уравнения с параметром, содержащие модуль

1.7. Линейные уравнения с параметром, содержащие квадратные корни

III.2 Классификация задач на решение квадратных уравнений с параметром

2.1 Уравнения с ограничениями для решения

2.2 Задачи на использование теоремы Виета

2.3 Задачи, в которых указан промежуток для решения

2.4 Дополнительные задания

2.5 Графическая иллюстрация решения квадратных уравнений с параметром

2.6 Иррациональные квадратные уравнения с параметром.

III.3 Примеры решения тригонометрических уравнений с параметрами.

III.4 Примеры решения показательных и логарифмических уравнений с параметрами

IV. Приложение

IV.1 Разработка курса по выбору для 9 класса

IV.2 Элективный курс по решению уравнений с параметрами для 10-11 классов.

V. Заключение

VI. Список литературы

Общеизвестно, что на ЕГЭ задания части С содержат задачи, которым в традиционном школьном курсе в силу различных причин уделяется мало внимания.

Одним из видов таких упражнений являются задачи, содержащие параметры. В школьных учебниках практически нет заданий на эту тему, потому что школьная программа охватывает узкий круг вопросов, делая основной упор не на логику решения задач.

Доказательством этого служит исследование, проведенное в 9 классе общеобразовательной средней сельской школы.

Учащимся предлагалось решить уравнение с параметром не выше второй степени a(a 3)x2 (2a 6)x-3a-9=0 . Результаты решения представлены в диаграмме:

Овладение же методикой решения уравнений с параметрами очень полезно: оно существенно повышает уровень математической подготовки учащихся, позволяет чуть по-новому, как бы изнутри, взглянуть на такие «банальные» функциональные зависимости, подробно анализируемые школьной программой, как, к примеру, линейные и квадратные многочлены. Поэтому знакомство с такими примерами можно организовать на факультативных занятиях, курсах по выбору, элективных курсах, рассматривая тему «Уравнения с параметрами». К тому же, умение решать уравнения с параметрами во многом предопределяет успешную сдачу экзаменов.

Поэтому целью моей дипломной работы является изучение существующих методик решения задач с параметрами в школьном курсе математики.

Отсюда вытекают следующие задачи: 1) Проанализировать содержание школьных учебников;

2) Выделить методики решения задач с параметрами;

3) Разработать систему упражнений для отработки навыков решения задач с параметрами;

4) Разработать курс по выбору для 9 класса;

5) Разработать элективный курс для 10-11 классов.

Объектом являются задачи с параметрами. Предметом - методы решения задач с параметрами.

Методы исследования: изучение литературных источников, личный опыт работы, дедукция, индукция, анализ, синтез, обобщение, интерпретация, конкретизация, педагогический эксперимент, математические методы решения задач.

II. Методика работы с задачами, содержащими параметры, в основной школе

II.1 Знакомство с задачами, содержащими параметры, через решение линейных уравнений в 7 классе

С некоторых пор основным связующим звеном всего курса математики стала идея функциональной зависимости. Благодаря этому устанавливается тесная связь между всеми разделами курса математики и появляется возможность подходить к решению уравнений и задач с более общей точки зрения в смысле полноты их решения. В связи с этим уместно привести высказывание В. М. Брадиса: «Представляется совершенно необходимым, чтобы учащиеся проводили исследование (то есть ставили вопрос о существовании решения, о числе решений, об особых случаях, какие могут представляться) при решении каждой задачи, особенно такой, какая ставится в общем виде ( содержит параметры)».

При решении математических задач учащиеся встречаются с различными методами исследования, применяемыми в математике, так как решение задач « заставляет учащихся сравнивать, разъединять, абстрагировать, соединять, индуцировать, дедуцировать, конкретизировать и обобщать».

Математическая задача состоит из данных и искомых величин и из условия, содержащего зависимость между данными и искомыми величинами. Примерами задач с параметрами являются задачи такого типа: «Определить площадь правильного треугольника со стороной а см.». данная задача является задачей с одним параметром. Задача: «Периметры двух квадратов составляют в сумме а см., а сумма их площадей равна b см2. Определить стороны квадратов» является задачей с двумя параметрами. Задача, которая не содержит в явном виде параметра, то есть в которой известная величина не обозначена буквой, но в то же время не выражена конкретным числовым значением, является тоже задачей с параметрическими данными. Например, задача «Тело брошено вертикально вверх с известной начальной скоростью. Когда оно будет на высоте 100 м.?» является задачей с одним параметром, так как начальная скорость является известной величиной, не имеющей определенного числового значения. При решении задач с параметрическими данными составлением уравнения получаем уравнение с параметрическими данными, то есть уравнение, коэффициенты которого содержат параметры или функции от параметров.

Обычно в школьной практике при решении задач и уравнений с параметрическими данными ограничиваются выражением искомых величин в виде функции от параметров, оставляя открытым вопрос о годности найденного выражения как решения при тех или иных допустимых значениях параметров. Но в то же время этот вопрос является составной частью полного и исчерпывающего решения задачи или уравнения. В связи с широким внедрением идеи функциональной зависимости в преподавание математики исследование решений становится посильным уже для учащихся младших классов.

Впервые знакомство с задачами, содержащими параметрические данные, можно организовать в 7 классе в теме « Линейные уравнения с одним неизвестным». К этому времени учащиеся должны иметь первоначальные навыки: 1)в составлении и решении линейных уравнений с одним неизвестным с целочисленными коэффициентами в простейших случаях.

2)в решении задач с параметрическими данными арифметическим способом.

3)в установлении множества допустимых значений букв в аналитическом выражении и величин в задаче.

Работа в этом направлении ведется систематически, начиная с 6 класса. Если такой работы не проводилось в 6 классе, то необходимо провести ее в 7 классе.

Для ознакомления учащихся с понятием уравнения и задачи с параметрическими данными можно использовать имеющиеся у них знания о существовании корней линейного уравнения. На предыдущем уроке перед рассмотрением уравнений и задач с параметрическими данными дается в виде домашнего задания задача: «Сумма двух натуральных чисел, из которых одно в 4 раза больше другого, равна 95. Найти эти числа».

На следующем уроке разбирается подробно выполненное домашнее задание примерно по следующему плану. В данной задаче мы нашли, какие будут два натуральных числа, удовлетворяющие условиям задачи. Поставим вопрос: каким числом будет сумма двух натуральных чисел, из которых одно в 4 раза больше другого? Знаем, что сумма будет обязательно натуральным числом. Но может ли этой суммой быть любое натуральное число, мы пока не сумеем ответить. Рассмотрим некоторые примеры, располагая их в таблице: Первое натуральное число Второе натуральное число Сумма этих натуральных чисел

1 4 5

2 8 10

3 12 15

4 16 20

5 20 25

6 24 30

На основе данных таблицы делается вывод, что суммой искомых чисел будет натуральное число, кратное 5. Для проверки правильности вывода решаем данную задачу в общем виде в следующей формулировке: «Сумма двух натуральных чисел, из которых одно в 4 раза больше другого, равна а. Найти эти числа».

Решение: одно число больше другого в 4 раза. Если меньшее число обозначить через х, то большее число будет 4х. Их сумма будет х 4х. По условию задачи х 4х=а, 5х=а откуда х=а/5.

Если меньшее число равно а/5, то большее число равно 4а/5. По условию задачи искомые числа должны быть натуральными. Следовательно, чтобы выражения а/5 и 4а/5 были натуральными, параметр а должен быть натуральным числом, кратным 5.

Отсюда вывод: если а делится на 5, то найденные выражения являются решениями задачи. Проверить, если а=90, 135, 242, 1022.

II.2 Введение понятия задачи с параметрами на материале линейных уравнений в 7 классе

Если мы решаем задачу с параметрическими данными, то мы получим уравнение, которое содержит кроме буквы, обозначающей неизвестное, еще и параметры, то есть уравнение с параметрическими данными. Например, в нашей задаче уравнение х 4х=а является уравнением с одним параметром а. Решение уравнения с параметрическими данными, как мы видели, вообще говоря, производится так же, как и решение уравнения с числовыми данными.

Дальше следует раскрыть смысл задачи и уравнения с параметрическими данными. Задачи с параметрическими данными мы решали уже в 6 классе арифметическим способом, составляя по тексту задачи формулу решения и исследуя полученное выражение по условиям задачи. При этом мы получили возможность решить одновременно бесконечное множество однотипных задач с числовыми данными. Такое свойство имеется и у уравнения с параметрическими данными. Решая предыдущую задачу, мы получили уравнение х 4х=а и установили, что параметр а должен иметь только натуральные значения, кратные 5, что составляет множество допустимых значений параметра а. заменяя в полученном уравнении параметр а его значениями из множества допустимых значений, получим следующие уравнения с числовыми данными: при а=5 х 4х=5 при а=10 х 4х=10 при а=15 х 4х=15 при а=20 х 4х=20

Из этого вытекает, что уравнение с параметрическими данными представляет бесконечное число однотипных уравнений с числовыми данными. Решая каждое из этих уравнений, мы получим решение задачи с числовыми данными.

Для домашнего задания можно дать подобную задачу. При этом даются дополнительно вопросы: 1)Определить по полученным формулам, при каких значениях параметра задача имеет решение.

2)Вычислить по полученным формулам некоторые величины, если значение параметра дано.

3)Проверить соответствуют ли полученные значения при некотором значении параметра тем значениям, которые мы получили, решая задачу как задачу с числовыми данными.

В дальнейшем в течение изучения данной темы и после этого предлагаются систематически параллельно с уравнениями и задачами с числовыми данными и уравнения с параметрическими данными. При этом мы ограничиваемся в основном уравнениями и задачами с одним параметром и притом самым простейшим. Основная цель их- устранить разрыв между решением уравнений и задач с числовыми данными и параметрическими данными и исследованием решений.