ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для использования матричной алгебры в расчетах электротехнических систем - Практическая работа
Алгебра матриц: задание численных и символьных элементов вектора и матрицы с и без применения шаблонов, использование векторных и матричных операторов и функций. Операции умножения и деления вектора и матрицы друг на друга и на скалярные числа.
Аннотация к работе
Вводим пиктограмму с изображением шаблона матрицы.Индекс вводится с помощью знака [или с помощью панели векторов и матриц - значок Xn. вектор-столбецПроизведение матрицы А на число (или числа на матрицу А) называется матрица С того же размера, что и А, элементы которой равны произведению соответствующих элементов матрицы А на число . Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. г) умножение матрицы на вектор и матрицу.Пользуемся панелью векторов и матриц.В линейной алгебре используются различные матричные нормы (norm), которые ставят в соответствие матрице некоторую скалярную числовую характеристику. Mathcad имеет четыре встроенные функции для расчета разных норм квадратных матриц: · norm1 (A) - норма в пространстве L1; Он позволяет провести однотипную операцию над всеми элементами массива (т. е. матрицы или вектора), упрощая тем самым программирование циклов. Например, иногда требуется умножить каждый элемент одного вектора на соответствующий элемент другого вектора. Для этого: 1.Вводим векторное выражение (символ умножения обозначает оператор скалярного произведения векторов). 2.Переместим курсор так, чтобы линии ввода выделяли все выражение, которое требуется подвергнуть векторизации.3.Введем оператор векторизации, нажав кнопку Vectorize (Векторизация) на панели Matrix (Матрица), или сочетанием клавиш , и , чтобы получить результат. или Оператор векторизации можно использовать только с векторами и матрицами одинакового размера.Для ввода оператора поиска обратной матрицы нажмем кнопку Inverse (Обратная матрица) на панели инструментов Matrix (Матрица).Эту сумму называют следом (trace) матрицы.Чтобы ввести оператор нахождения определителя матрицы можно нажать кнопку Determinant (Определитель) на панели инструментов Matrix (Матрица) или набрать на клавиатуре (нажав клавиши ).2.3.11 Задание комплексной матрицы и определение комплексно-сопряженной матрицы (ввести значок «”»)Задание матрицы с помощью столбцов: Вычитание столбцов и строк: 2.3.13 Объединение матрицы А с вектором В и матрицы А с матрицей А Используем функцию augment для объединения массивов, имеющих размеры m x n и m x p (то есть одинаковое число строк), расположенных бок о бок, образуя массив размеров m x (n p).Часто бывает нужно переставить элементы матрицы или вектора, расположив их в определенной строке или столбце в порядке возрастания или убывания. Для этого имеются несколько встроенных функций, которые позволяют гибко управлять сортировкой матриц: · sort(v) - сортировка элементов вектора в порядке возрастания ; · csort(A,i) - сортировка строк матрицы выстраиванием элементов i-го столбца в порядке возрастания;L U-разложением матрицы А, или треугольным разложением, называется матричное разложение вида P Фактически, треугольное разложение матрицы системы линейных уравнений производится при ее решении численным методом Гаусса. Функция LU-разложения выдает составную матрицу. Выделить матрицы P,L,U несложно при помощи встроенной функции submatrix.2.4.1 Собственные значения и векторы собственных значений матрицы а) Определение собственных значений с помощью характеристического уравнения Такое уравнение имеет решения в виде собственных значений ?1, ?2,... и соответствующих им собственных векторов x1, х2,...Значение скаляра ? носит название собственных значений квадратной матрицы А. Для решения задач на собственные векторы и собственные значения в Mathcad встроено несколько функций, реализующих довольно сложные вычислительные алгоритмы: eigenvals(A) - вычисляет вектор, элементами которого являются собственные значения матрицы А; По умолчанию Mathcad отобразит три знака после запятой. 2.4.2 Нахождение матрицы векторов собственных значений матрицы а)Вычисление матрицы, содержащей нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А · eigenvecs(A) - вычисляет матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А; для устранения ошибки округления увеличили точность до 8 знаков после запятой. б)Вычисление собственного вектора для матрицы А и заданного собственного значения ?В Mathcad легко создать матрицы определенного вида с помощью одной из встроенных функций, например: · diag(v) - создаст диагональную матрицу, на диагонали которой находятся элементы вектора v; Рассмотрим вектор, элементами которого являются собственные значения матрицы А.
План
ПЛАН
1. Данные варианта задания
2. АЛГЕБРА МАТРИЦ
2.1 Установка шаблонов вектора и матрицы
2.2 Задание численных и символьных элементов вектора и матрицы без применения шаблонов
2.3 Использование векторных и матричных операторов и функций
2.3.1 Операции умножения и деления а) умножение матрицы на скалярное число б) умножение вектора на скалярное число в) скалярное произведение двух векторов г) умножение матрицы на вектор и матрицу д) деление матрицы на скалярное число
2.3.2 Операции сложения а) в символьном виде б) в числовом виде
2.3.3 Транспонирование матриц и векторов
2.3.4 Вычисление нормы
2.3.5 Векторизация
2.3.6 Вычисление встроенных функций вектора. Определение количества строк, столбцов, числа элементов вектора, индекс последнего элемента вектора, минимального и максимального элемента
2.3.7 Обращение
2.3.8 Определение следа
2.3.9 Определитель матрицы
2.3.10 Смена знаков у элементов матрицы и вектора
2.3.11 Задание комплексной матрицы и определение комплексно-сопряженной матрицы. Выделение вещественных и мнимых составляющих элементов матрицы и восстановление комплексной матрицы по заданным матрицам из вещественных и мнимых элементов
2.3.12 Операции со строками и столбцами матрицы
2.3.13 Объединение матрицы с вектором и матрицы с матрицей
2.3.14 Сортировка элементов вектора и матрицы
2.3.15 Разложение матрицы на треугольную, ортогональную
2.4 Использование матричных функций
2.4.1 Собственные значения и векторы собственных значений матрицы
2.4.2 Нахождение матрицы векторов собственных значений матрицы
2.4.3 Приведение заданной матрицы к диагональному виду
3. Выводы по работе
1. Данные варианта задания
Коэффициенты квадратной матрицы А и вектора b
Таблица1. Коэффициенты квадратной матрицы А и вектора b.
№ вар Ко э ф ф и ц и е н т ы к в а д р а т н о й м а т р и ц ы А и в е к т о р а b с и с т е м ы л и н е й н ы х а л г е б р а и ч е с к и х у р а в н е н и й а11 а12 а13 а14 а21 а22 а23 а24 а31 а32 а33 а34 а41 а42 а43 а44 b1 b2 b3 b4
В результате выполнения практической работы №1 были изучены возможности математического пакета MATHCAD в среде Windows с целью дальнейшего использования матричной алгебры в инженерных расчетах электротехнических систем. Были изучены и повторены основные моменты теории матриц. Изучены способы задания векторов и матриц в среде MATHCAD. Я научился работать с массивами, векторами и матрицами, применял векторные и матричные операторы и функции. Вторая по частоте применения задача вычислительной линейной алгебры - это задача поиска собственных векторов и собственных значений матрицы. Для решения таких задач в Mathcad встроено несколько функций, реализующих довольно сложные вычислительные алгоритмы. Применение матричных функций намного облегчает расчеты по теоретическим основам электротехники, теории автоматического управления и другим дисциплинам. Как оказалось, особенно просто в MATHCAD работать с комплексными числами и полиномами высших порядков. Решение характеристических уравнений выдается в виде векторов, которые можно далее преобразовывать с помощью матричной алгебры, представленной в MATHCAD.