Получение уравнения Шрёдингера. Изучение условий, налагаемых на волновые функции, собственные функции и собственный значения. Движение частицы в потенциальной яме; скачек потенциала. Бесконечно глубокая потенциальная яма. Дискретный спектр и резонансы.
Аннотация к работе
Уравнение Шредингера, по существу, представляет собой постулат нерелятивистской квантовой механики. Подчеркнем, что ни о каком сколько-нибудь строгом выводе этого уравнения не может быть и речи, поскольку, вообще говоря, нельзя построить любую новую теорию, базируясь лишь на старых представлениях. Тем не менее, покажем, каким образом можно прийти к уравнению Шредингера, производя разумное обобщение волнового уравнения, известного, например, в классической электродинамике на случай дебройлевских волн [1]. (2) где ?=2?? - круговая частота, а пространственная часть волновой функции подчиняется уравнению Для того чтобы из этого волнового уравнения, имеющего, вообще говоря, универсальный характер, получить волновое уравнение, позволяющее описывать волновое движение электронов, подставим сюда вместо ? выражение для дебройлевской длины волныВ частности, квадрат модуля (t)?(t) = играет роль функции распределения и характеризует плотность вероятности обнаружить частицу в момент времени t в объеме пространства с координатами, лежащими между r и r dr. Если плотность вероятности отлична от нуля только в конечной части пространства, то можно с достоверностью считать, что частица локализована где-то в этой области[3], т.е. вероятность обнаружить там частицу должна равняться единице В некоторых случаях (простейший из них - свободное движение частицы) величина не обращается в нуль во всем пространстве. На волновую функцию ?, как на решение, удовлетворяющее уравнению второго порядка типа Штурма-Лиувилля, должны: быть наложены следующие условия. Эти требования приводят к тому, что решения волновых уравнений, удовлетворяющие перечисленным выше условиям, существуют, вообще говоря, не при любых, а только при некоторых значениях параметра, получивших название собственных значений; в данном случае таким параметром является энергия Е с собственными значениями E1, E2, E3, … .Общее решение имеет осцилляторный характер в области I (x > 0) и экспоненциальный характер в области II (x <0). , (19a) причем arctg выражает значения этой функции в интервале (-?/2, ?/2). Образуем собственную функцию, поведение которой в области II имеет вид . Таким образом, функция ?(x, t) образована суперпозицией собственных функций случая а) с характерным множителем , учитывающим зависимость от времени. Таким образом, в этот момент времени существует отличная от нуля вероятность найти частицу в области II, в то время как классическая частица никогда не проникает в эту область.Предельным случаем предшествующей задачи является задача о частице, встречающей бесконечно высокий потенциальный барьер. Из формул (19), (19а), (19б) в этом предельном случае (?2>?) следует, что волна обращается в нуль в точке х=0. Действительно, волновая функция в области х<0 по необходимости принимает форму , ее логарифмическая производная есть ?2.В качестве второго простого примера мы рассмотрим случай бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной ямы. Значение потенциала на дне "ямы будем считать началом отсчета значений энергии. Эта область нулевого потенциала занимает некоторый участок оси (-L/2, L/2); с обеих сторон интервал ограничен бесконечно высокими потенциальными барьерами (рис. Задача о собственных значениях сводится к нахождению функции ?, обращающейся в нуль в точках L/2 и-L/2 и удовлетворяющей в интервале (-L/2, L/2) уравнению Шредингера Каждому из этих значений ?n соответствует одна и только одна собственная функция (вырождения нет), а именно: при n нечетном, (29а) при n четном.Существует одно и только одно решение, экспоненциально затухающее в области I, а также одно и только одно решение, затухающее в области III; эти два решения согласованно сшиваются только при некоторых определенных дискретных значениях ?. Функция ?, по предположению вещественная, в каждой из трех областей имеет, вид: (30) Если KL <?, собственных значений нет; если ? ? KL ? ? ? , то существует одно собственное значение ?1;если ? ? ? KL <2? ?, имеется два собственных значения ?1 и ?2 (?1 <?2) и т. д. Теперь помимо квантования энергии следует отметить дополнительное отличие; поскольку волновая функция сохраняет отличные от нуля значения в областях I и III, существует отличная от нуля вероятность найти частицу и в этих областях, куда доступ классической частице полностью запрещен. б) U1 <? <U3. Приходя из ? с постоянной скоростью , классическая частица испытывает резкое ускорение при x = 0, пробегает область II со скоростью , отражается в точке x =-L, движется в противоположном направлении со скоростью ?2 в области II, затем со скоростью ?1 в области I.
План
Содержание шредингер волновой спектр резонанс
1. Получение уравнения Шредингера
2. Условия, налагаемые на волновые функции, собственные функции и собственный значения
3. Движение частицы в потенциальной яме
3.1 Скачек потенциала. Отражение и прохождение волн
1. А.А. Соколов, И.М. Тернов. Квантовая механика и атомная физика. Издательство "ПРОСВЕЩЕНИЕ" Москва 1970 г.
2. А. Мессиа. Квантовая механика. Перевод с французского В.Т Хозяинова под редакцией Л.Д. Фадеева. Издательство "НАУКА" главная редакция физико-математической литературы. Москва 1978 г. Том I.
3. Д.И. Блохинцев. Основы квантовой механики. Издание пятое. Издательство "НАУКА" главная редакция физико-математической литературы. Москва 1976 г.
4. А.С. Давыдов. Квантовая механика. Издание второе. Издательство "НАУКА" главная редакция физико-математической литературы. Москва 1973 г.
5. Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Издание пятое, под редакцией Л.П. Питаевского. Москва ФИЗМАТЛИТ 2001 г.