Неравенство Маркова на индексационных классах и проблема моментов: экстремальная задача и доказательство теорем. Чебышевская экстремальная задача на бесконечности. Классы моментных пространств, матрицы индексационных функций и последовательностей.
Аннотация к работе
В работе вводится понятие индекса функции на [0,?) относительно произвольного класса F функций на [0, ?), основанное на сравнении двух функций через количество перемен знака их разности. Скажем, что функция D(t), TIR1, имеет k строгих перемен знака, если существуют множества Функция f имеет индекс k-в F, если выполнено отношение и не выполнено . Функция g имеет индекс k в F, если выполнено и не выполнено . Скажем, что последовательность {fi}i?1 функций на [0, ?) относительно класса U слабо сходится к функции f , если для всех UIU.Найти супремум и инфимум интеграла на множестве ФР из A, удовлетворяющих ограничениям Для классов Ao - всех ФР на [a, b] и BL - ФР на [a, b], удовлетворяющих условию ,-?<x<y<?, задача решена в [1]. Важность решение экстремальных задач на разных классах ФР обоснована, например, в [1 - 5]. Задача при x=b решена в [4] для мажоризационных классов.Функция f имеет на [a, b] m строгих перемен знака, если существуют множества B0(f)0 (или (-1)j 1f(x)>0 при XIBJ(f), и f(x)=0 при . Для любого распределения A (A ) и для любого Am, , функция Am - A (Am - A ) имеет либо n 1, либо n 2 строгих перемен знака на [a, b]. Предположим, что функция Am - A имеет более n 2 строгих перемен знака. [4]) и функция Am - A не может иметь n 1 строгих перемен знака. Число a (число b) назовем: параметром первого типа, если функция Da (db) имеет n 2 строгих перемен знака (в этом случае на последнем множестве строго знакопостоянства функция Da (db) отрицательна (положительна)); параметром второго типа, если функция Da (db) имеет n 1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна; параметром третьего типа, если функция Da (db) имеет n 1 перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она положительна.Для любого ФР и любой точки XI[a, b] существует ФР такая, что Av(t)?As(t) (Av(t)?As(t)) в некоторой окрестности точки x. Если не существует такого i, 0?i?n 2, что n-1 четно и XIYI(0), то в некоторой окрестности точки x имеет место d0?0. Точка x не может совпадать с левым концом отрезка Yn 1(1), так как в этом случае множества Yn 1(1) и Yn 2(1) совпадают, что невозможно. Первый подход заключается в урезании справа класса A в точке x>0, наложении условий, при которых задача на «урезанном» классе Ax решается, и в переносе предельным переходом x®? решения на класс A. Примерами таких классов служат: класс всех ФР на [0, ?), класс ФР вогнутых на [0, ?),класс ФР s на [0, ?), удовлетворяющих при 0?x0 и т. д.
План
Содержание
Введение
Глава 1. Неравенство Маркова на индексационных классах
§ 1. Экстремальная задача
§ 2. Свойства отображения
§ 3. Доказательство теоремы
Глава 2. О чебышевской экстремальной задаче на [0, ?)
Литература
Введение
В работе вводится понятие индекса функции на [0,?) относительно произвольного класса F функций на [0, ?), основанное на сравнении двух функций через количество перемен знака их разности. С помощью понятия индекса аксиоматически определяется индексационный класс F. На индексационных классах изучается конечная проблема моментов.
Определение 1. Скажем, что функция D(t), TIR1, имеет k строгих перемен знака, если существуют множества A1<A2<…<Ak 1, такие, что а) ;
б) знаки функции D(t) на множествах A1, A2, …, Ak 1 перемежаются.
Пусть f(t) и g(t) - функции на R1. Пишем , если функция D=g-f имеет k-1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна.
Нетрудно видеть, что отношение выполнено тогда и только тогда, когда а) не существует точки x1, …, xk (-?<x1<…<xk<?) такие, что (-1)k-i f(xi) > (-1)k-i g(xi), ;
б) существуют точки y1, …, yk (-?<y1<…<yk<?) такие, что (-1)k-i f(yi) > (-1)k-i g(yi), .
Пусть F - некоторый класс непрерывных слева функций на [0, ?) и f, g I F.
Определение 2. Пишем , если для любой функции HIF, h?g, выполнено одно из отношений: , , , . Пишем , если для любой функции HIF, h?f, выполнено одно из отношений: , , , .
Функция f имеет индекс k- в F, если выполнено отношение и не выполнено . Функция g имеет индекс k в F, если выполнено и не выполнено .
Через Ik- (Ik ), k?1, обозначим совокупность всех функций с индексом k- (k ) в F.
Пусть U - семейство функций на [0, ?).
Через FU обозначим множество функций FIF, для которых интегралы
, UIU, абсолютно сходятся.
В случае положим , FIFU, AIFU, : , Fi(A)={Fi(f): FIA}, , , .
Множество называется моментным пространством класса F относительно системы функций .
Лемма 1. Пусть системы u1(t), …, un(t) и u1(t), …, un(t), un 1(t) образуют T -системы на [0, ?) такие, что . Тогда отношение невозможно для и, если , то .
Доказательство. Допустим, что , где k?n, и A1, …, Ak - множества строгого знакопостоянства функции D=g - f. Для векторов рассмотрим матрицу
.
Так как , , то есть
, (1) где di(-1)k-i, и di=0, для всех векторов .
Из (1) следует, что DETH( )=0 для любых . С другой стороны, применив k раз теорему о среднем к H( ), получим
, (2) где 0?x1<x2<…<xk<?. Так как векторы линейно зависимы, то их можно дополнить до системы линейно независимых векторов . Из (2) получаем .
Пусть теперь и .
Так как
, (3) где di=(-1)n 1-i, , то , где H - матрица, записанная в (3) слева, - матрица, получаемая из H удалением (n 1)-ых строки и столбца. Применив теорему о среднем, получаем DETH>0, . Вместе с равенством dn 1=1 это означает, что d>0.
Определение 3. Скажем, что последовательность {fi}i?1 функций на [0, ?) относительно класса U слабо сходится к функции f , если для всех UIU.
Определение 4. Множество AIFU назовем (k, U) окрестностью функции f в F, если FIA и множество А имеет вид , где V открыто, при , при .
Множество AIFU назовем (k, U)-открытым, если каждая функция FIA имеет (k, U) окрестность, состоящую из функций множества А.
Определение 5. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ?) назовем нижним U-индексационным с дефектом n, если: 1. Класс F равномерно ограничен, то есть существует L>0, такое, что f(t)?L при t?0, FIF;
2. ;
3. Множества Ik- (k-1, U) - открыты для всех k>n 1;
4. Из любой последовательности {fi}i?1II-k 1 (k>n) такой, что , можно выделить подпоследовательность, слабо относительно класса U сходящуюся к некоторой функции .
Пусть система образует T - систему на [0, ?).
Рассмотрим систему функций , такую, что wi=ui для и - T - системы для m?n (см. [1]).
Теорема 1. Пусть система образует T - систему на [0, ?), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ?). Тогда .
Доказательство. Пусть . Согласно условию 2 определения индексационного класса, существует последовательность {fj}j?1IIK- такая, что . Зафиксируем произвольное fl.
Если FLIIK-, где k?n 1, то положим fl*=fl.
Пусть k>n 1 и s={ } - (k-1, W) окрестность fl в Ik-.
Рассмотрим произвольные и . Допустим, что . Согласно лемме 1, отношения и невозможны для s?k-1. Следовательно, и , что невозможно.
Таким образом, отображение непрерывно и взаимно однозначно. Из принципа инвариативности области (см. [3]) следует, что - открытое множество в Rk-1, содержащее .
Пусть , и - многочлен по системе , имеющий k-2 нулей x1, …, xk-2. Условие bk-1=0 противоречит чебышевости системы . Положим bk-1>0. Тогда (см. [5]) P(t)>0 при t>xk-2.
Имеем
, где cli - i-ая компонента вектора , и, следовательно,
.
Так как константа К не зависит от f, то ml >-?.
Кроме того, .
Возьмем последовательность , такую, что Fk-1(flp)>Fk-1(flq)=ml при p<q и , Рассмотрим произвольные flp и flq, где p<q. Так как , то отношения и невозможны для s?k-2. Отношения и невозможны, так как flp, FLQIIK-. Из леммы 1 получаем .
Так как , то найдется функция , такая, что Fk-1(fl’)=ml.
Отношение fl’IIK- невозможно, в силу определения числа ml и принципа инвариативности области. Отношения fl’IIM- для m<k-1 невозможны, так как . Следовательно .
Продолжая таким образом, через k-n-2 шагов получим функцию , такую, что . Из условия следует утверждение теоремы 1.
Замечание 1. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ?) назовем верхним U-индексационным с дефектом n, если: 1. Класс F равномерно ограничен;
2. ;
3. Множества Ik (k-1, U) - открыты для всех k>n 1;
4. Для k>n из любой последовательности {fi}i?1IIK такой, что , можно выделить подпоследовательность, относительно класса U слабо сходящуюся к некоторой функции ;
5. Ik IFU для k?n 1.
Теорема 2. Пусть система образует T -систему на [0, ?), F-верхний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ?). Тогда .
Определение 6. Систему непрерывных на [0, ?) функций назовем T 1-системой, если она является T -системой, и, кроме того, системы u1, …, ul-1, ul 1, …, un также являются T -системами для .
Лемма 2. Пусть - T 1-система на [0, ?), функции f и g таковы, что (-1)n-i Fi(f) ? (-1)n-i Fi(g), .
Тогда отношения , и , , невозможны.
Доказательство. Допустим, что имеет место отношение и 1?p?n.
Пусть x1, …, xp-1 (-?<x1<…<xp-1<?) - точки перемен знака функции ; хо=-?, xn=?; . Выберем точки xn-1<xn-2<…<xp<xp-1 так, чтобы , , . Рассмотрим систему равенств
, (4) где hi=±1. Из условия следует, что hn=1. С другой стороны, из (4) получаем
, где А - матрица, записанная в (4) слева, Ani - матрица, получаемая из А удалением i-ой строки и n-го столбца. Так как - T 1-система на [0, ?), то DETA>0, DETANI>0, . Следовательно, hn?0. Получили противоречие.
Случай , , рассматривается аналогично.
Теорема 3. Пусть - T 1-система на [0, ?), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ?). Тогда .
Доказательство. Пусть . Возьмем последовательность векторов так, чтобы при и для , j?1.
Согласно теореме 1, для любого найдется последовательность такая, что .
Существует j1, такое, что , где r - какая-либо метрика в Rn, и , .
Выберем j2 так, чтобы и , .
Продолжая таким образом, получим последовательность такую, что и (5)
Рассмотрим произвольные и . Отношения и для k>n невозможны, в силу условий .
Из неравенств (5), в силу леммы 2, имеем
, т. е. существует функция такая, что . Включение противоречит условию , в силу принципа инвариативности области.
Из произвольности следует утверждение теоремы 2.
Список литературы
Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. - Москва: Наука, 1973.
Таталян К.Р. Экстремальные задачи проблемы моментов на классах распределений. - Дисс. на соиск. ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Москва, МИЭМ, 1988.
Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. - Москва: Наука, 1976.