Розв’язування екстремальних задач на знаходження максимуму функціоналів, які залежать від внутрішніх радіусів областей відносно точок комплексної площини та задач з вільними полюсами на одиничному колі у випадку трьох областей, які не перетинаються.
Аннотация к работе
Дисертація присвячена класичному напряму геометричної теорії функцій комплексної змінної - екстремальним задачам про області, які попарно не перетинаються. Він знайшов максимум і визначив розміщення екстремальних областей для функціоналу, що складається з добутку внутрішніх радіусів двох однозвязних областей, які не перетинаються відносно фіксованих точок комплексної площини. Предметом дослідження є знаходження максимумів функціоналів, які мають вигляд добутків додатних степенів внутрішніх радіусів областей відносно виділених точок (полюсів), які утворюють відповідну систему, а також характеристика екстремальних конфігурацій для цих функціоналів. Розвязано екстремальну задачу для областей, які попарно не перетинаються з вільними полюсами на так званих “рівномірно променевих системах точок” (теорема 2.1). Розвязано екстремальну задачу для областей, які попарно не перетинаються з вільними полюсами, що рухаються по “рівномірно променевих системах точок” у кільці (теорема 3.1).Підрозділ 1.2 знайомить читачів з основами теорії квадратичних диференціалів, а саме: з поняттями квадратичного диференціалу, траєкторії, ортогональної траєкторії та кругової області квадратичного диференціалу. При фіксованому розглянемо множину всіх наборів , які задовольняють умови: Позначимо через множину всіх упорядкованих наборів відмічених областей які задовольняють умови: є с. н. о. та . В підрозділі 2.3 розвязана так звана “комбінована” задача для рівномірно променевих систем точок, тобто розглядається випадок, коли полюсів вільно рухаються по рівномірній променевій системі та ще полюси є фіксованими, а саме: , В цьому випадку справедлива теорема. Зокрема, в підрозділі 2.4 розвязано дві екстремальні задачі з вільними полюсами на рівномірно променевій системі та фіксованими полюсами, а саме: перша задача - з , друга задача - з , , в підрозділі 2.5 розвязано екстремальну задачу з вільними полюсами на рівномірно променевій системі та фіксованими полюсами, а саме: , Третій розділ дисертації присвячено розвязуванню екстремальних задач, які так чи інакше повязані з одиничним колом або кільцем. Тоді для довільного впорядкованого набору відмічених областей , компонента якого задовольняє умову: , справедлива нерівність де області та точки є, відповідно, круговими областями та полюсами квадратичного диференціалу а У підрозділі 3.6 доводиться теорема, яка є розвязком екстремальної задачі про чотири вільні полюси на одиничному колі для функціоналу, який залежить не тільки від внутрішніх радіусів областей відносно точок, а й від відстаней між цими точками.Розвязано екстремальну задачу для областей, які попарно не перетинаються з вільними полюсами на рівномірно променевих системах точок (теорема 2.1). Для рівномірно променевих систем точок розвязано екстремальну задачу так званого “мішаного типу”, тобто для неї деякі полюси є вільними, а інші - фіксовані (теореми 2.2 - 2.4).
План
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
Вывод
Отже, у даній дисертаційній роботі отримано такі результати.
1. Розвязано екстремальну задачу для областей, які попарно не перетинаються з вільними полюсами на рівномірно променевих системах точок (теорема 2.1).
2. Для рівномірно променевих систем точок розвязано екстремальну задачу так званого “мішаного типу”, тобто для неї деякі полюси є вільними, а інші - фіксовані (теореми 2.2 - 2.4).
3. Розвязано екстремальну задачу для областей, які попарно не перетинаються з вільними полюсами, що рухаються по рівномірно променевих системах точок у кільці (теорема 3.1).
4. Розвязано досить загальну аналогічну задачу для добутку внутрішніх радіусів областей, що належать одиничному кругу (теореми 3.2, 3.3).
5. Повністю розвязано екстремальні задачі з вільними полюсами на одиничному колі у випадку трьох та чотирьох областей, які попарно не перетинаються (теореми 3.4 - 3.6).
6. Розвязано екстремальну задачу для областей, які попарно не перетинаються, з вільними полюсами на довільних променевих системах точок (теореми 4.1, 4.2).
Список литературы
Основні результати дисертації опубліковано в таких роботах: Бахтин А.К., Таргонский А.Л. Экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами на лучах // Доп. Нац. Акад. наук України. - 2004. - № 7. - C. 7 - 13.
Бахтин А.К., Таргонский А.Л. Экстремальные задачи и квадратичные дифференциалы // Нелінійні коливання. - 2005. - 8, № 3. - С. 298 - 303.
Таргонский А.Л. Оценки некоторых функционалов на классе неналегающих областей // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2004. - 1, № 3. - С. 305 - 317.
Бахтин А.К., Таргонский А.Л. Некоторые экстремальные задачи на классе неналегающих областей // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 1, № 3. - С. 244 - 253.
Бахтин А.К., Таргонский А.Л. Некоторые экстремальные задачи теории конформных отображений // Экстремальные задачи теории однолистных функций. - Киев, 2002. - С. 10 - 14. - (Препр. / НАН Украины. Ин-т математики; 2002.6).
Бахтин А.К., Таргонский А.Л. Некоторые экстремальные задачи теории неналегающих областей со свободными полюсами на лучах // Некоторые экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами. - Киев, 2003. - С. 46 - 67. - (Препр. НАН Украины. Ин-т математики; 2003.6).
Бахтин А.К., Таргонский А.Л. Некоторые экстремальные задачи в теории неналегающих областей // Комплексний аналіз і теорія потенціалу: Праці українського математичного конгресу-2001: Секція 4. - Київ: Ін-т математики НАН України, 2003. - С. 10 - 16.
Таргонский А.Л. Ободной экстремальной задаче для трех неналегающих областей // International Conference on Complex Analysis and Potential Theory: Abstracts. - Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine. - 2001. - С. 84.
Bakhtin А.К., Targonskii А.L. An extremal problem for non-overlapping domains // International workshop Conference on Potential Flows and Complex Analysis : Abstracts. - Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine. - 2002. - P. 8 - 9.
Targonskii А.L. Extremal problems for non-overlapping domains with free poles on rays // International Workshop on Potential Theory and Free Boundary Flows: Abstracts. - Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine. - 2003. - P. 34.
Таргонский А.Л. Некоторые экстремальные задачи о неналегающих областях // International Workshop on Free Boundary Flows and Related Problems of Analysis: Abstracts. - Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2005. - С. 61 - 62.