Теоретичні основи та приклади економічних задач лінійного програмування. Розробка математичної моделі задачі (запис цільової функції і системи обмежень) і програмного забезпечення її вирішення за допомогою "Пошуку рішень" в Excel симплекс-методом.
Аннотация к работе
3.2 Вирішення задачі лінійного програмування за допомогою «Пошуку рішень» у середовищі Microsoft Office Excel 2003Лінійне програмування - математична дисципліна, присвячена теорії та методам розвязання задач про екстремуми лінійних функцій на множинах n-мірного векторного простору, що задаються системами лінійних рівнянь і нерівностей [13]. Вперше постановка задачі лінійного програмування у вигляді пропозиції щодо складання оптимального плану перевезень, що дозволяє мінімізувати сумарний пробіг, дана в роботі радянського математика А.Н. Егерварі розглянув математичну постановку і вирішив завдання, що має назву «проблема вибору», метод вирішення якої отримав назву угорський метод. Канторович вказав загальний метод (метод розвязувальних множників) вирішення завдань, повязаних зі складанням оптимального плану при організації виробничих процесів (у звязку з вирішенням задачі оптимального розподілу роботи між верстатами фанерного тресту в Ленінграді). Юдіна та інших математиків і економістів отримали подальший розвиток як математична теорія лінійного і нелінійного програмування, так і додаток її методів до дослідження різних економічних проблем.Для виготовлення n видів продукції P1, ..., Pn використовується m видів сировини S1, ..., Sm, запаси якого обмежені і становлять відповідно b1, ..., bm одиниць. Відомо, що на виробництво одиниці продукції Pj (j = ) витрачається aij одиниць ресурсу Si (i = , а прибуток від реалізації одиниці продукції Pj (j= ) становить cj (j =. Потрібно визначити план виробництва, який дозволяє при готівкових ресурсах отримати максимальний прибуток підприємства від реалізації продукції [15]. Позначимо через xj (j = ) плановане до випуску кількість продукції Pj (j= ), а через Z (х1, ..., xn) - прибуток підприємства від реалізації всієї продукції. Тоді планом виробництва буде вектор Х = (х1, ..., xn), що показує, яку кількість продукції кожного виду буде вироблено.Задача визначення оптимального складу суміші виникає тоді, коли з наявних видів сировини шляхом їх змішування необхідно отримати кінцевий продукт із заданими властивостями. До цієї групи завдань відносяться, наприклад, завдання отримання сумішей для різних марок бензину в нафтопереробній промисловості, сумішей для отримання бетону в будівництві, завдання про вибір дієти, складання кормового раціону в тваринництві та інше. З цієї сировини необхідно скласти суміш, яка містить n речовин, що визначають технічні характеристики суміші. Відомі величини визначають-кількість j-ї речовини в одиниці-го виду сировини, ціна якого дорівнює а також найменший допустимий кількість j-ї речовини в суміші.Задача оптимального розкрою матеріалів полягає у визначенні найбільш раціонального способу розкрою наявного матеріалу (колоди, сталеві смуги, шкіра і т.д.), при якому буде виготовлено найбільшу кількість готових виробів у заданому асортименті чи буде досягнуто найменшу кількість відходів. Нехай на обробку поступає a одиниць сировинного матеріалу одного виду (наприклад, a колод однієї довжини). З нього потрібно виготовити комплекти, в кожен з яких входить n видів виробів у кількості, пропорційній числах. Є m способів розкрою (обробки) даного матеріалу, тобто відомі величини визначають кількість одиниць j-х виробів при i-му способі розкрою одиниці сировинного матеріалу [10].Розглянемо транспортну задачу, тобто завдання, в якій мова йде про раціональну перевезення деякого однорідного продукту від виробників до споживачів. Нехай є m пунктів виробництва однорідного продукту (видобуток руди в карєрах, виробництво автобусів, кондитерських виробів, компютерів і т.д.) і n пунктів споживання цього продукту. Потужності пунктів виробництва складають аі одиниць однорідного продукту, а потреби кожного j-го пункту споживання рівні одиниці. Скласти такий план перевезень, при якому сумарні витрати на всі перевезення були б найменшими. При цьому передбачається, що вся продукція від постачальників буде вивезена і попит кожного із споживачів буде задоволений [7].Загальна форма моделі задачі лінійного програмування характеризується наступним: Знайти сукупність значень n змінних що задовольняють системі обмежень:
і умові невідємності: , для яких лінійна функція (цільова функція) досягає екстремуму (максимуму або мінімуму) [9].Знайти сукупність значень n змінних що задовольняють системі обмежень: і умові невідємності: , для яких лінійна функція (цільова функція) досягає максимуму.Знайти сукупність значень n змінних що задовольняють системі рівнянь: () і умові невідємності: (), для яких цільова функція досягає максимуму.Симплекс-метод - метод розвязання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розвязку; симплекс-метод також називають методом поступового покращення плану [6]. Нехай невироджену задачу лінійного програмування представлено в канонічному вигляді: , де X = (x1, …, xn) - вектор змінних, C = (c1, …., cn), B = (b1, …, bm)T, Aj = (a1j, …, amj)T, j = 1, …, n - задані вектори, T - знак трансп
План
ЗМІСТ
ВСТУП
1. Теоретичний розділ
1.1 Теоретичні основи лінійного програмування
1.2 Приклади економічних задач лінійного програмування
1.2.1 Задача оптимального виробничого планування
1.2.2 Задача про суміші
1.2.3 Задача про розкрій
1.2.4 Транспортна задача
2. Моделювання і методика рішення задач лінійного програмування
2.1 Різновиди форм моделі задач лінійного програмування
2.1.1 Загальна форма моделі
2.1.2 Стандартна форма моделі
2.1.3 Канонічна форма моделі
2.2 Симплекс-метод
3. Прикладний розділ
3.1 Вирішення задачі лінійного програмування симплекс-методом
Список литературы
Вступ
Розвиток сучасного суспільства характеризується підвищенням технічного рівня, ускладненням організаційної структури виробництва, поглибленням суспільного поділу праці, предявленням високих вимог до методів планування і господарського керівництва. У цих умовах тільки науковий підхід до керівництва економічним життям суспільства дозволить забезпечити високі темпи розвитку народного господарства.
Одним з необхідних умов подальшого розвитку економічної науки є застосування точних методів кількісного аналізу, широке використання математики. В даний час новітні досягнення математики і сучасної обчислювальної техніки знаходять все більш широке застосування в економічних дослідженнях і плануванні. Цьому сприяє розвиток таких розділів математики, як математичне програмування, теорія ігор, теорія масового обслуговування, а також бурхливий розвиток швидкодіючої електронно-обчислювальної техніки. Вже накопичений достатній досвід постановки та вирішення економічних завдань за допомогою математичних методів. Особливо успішно розвиваються методи оптимального планування, які й становлять сутність математичного програмування.
Однією з основних стає завдання створення єдиної системи оптимального планування та управління народним господарством на базі широкого застосування математичних методів і електронно-обчислювальної техніки в економіці.
Основною метою написання курсової роботи є всебічний аналіз застосування лінійного програмування для вирішення економічних задач. Завданнями курсової роботи є: 1. Теоретико-методичний опис методу лінійного програмування.
2. Виявлення області застосування лінійного програмування для вирішення економічних завдань.
3. Оптимізація прибутку із застосуванням методу лінійного програмування.
4. Постановка завдання і формування оптимізаційної моделі.
5. Розрахунок і аналіз результатів оптимізації прибутку.
6. Розробка компютерної програми для вирішення поставленої задачі.