Понятие двойного интеграла, условия его существования, свойства и методы вычисления: сведение двойного интеграла к повторному для прямоугольной и криволинейной областей; двойной интеграл в полярных координатах; замена переменных; вычисление объемов тел.
Аннотация к работе
Тема «Двойной интеграл» входит в программу изучения курса высшей математики по всех высших учебных заведениях.Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью D. Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область D. Разобьем область на частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние , а по оси у - на . Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области D интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции по области D.Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла.1) Если функции и интегрируемы в области , то интегрируемы в ней их сумма и разность , причем 2) Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла , 3) Если интегрируема в области D, а эта область разбита на две непересекающиеся области и , то 4) Теорема о среднем.Пусть для функции в прямоугольнике существует двойной интеграл . Тогда существует интегралПусть функция определена в области , где и - непрерывные функции, для . Пусть также существует двойной интеграл и для каждого из отрезка существует определенный интеграл Тогда существует повторный интеграл и справедливо равенствоВычислить интеграл , если область ограничена линиями: . Вычислить интеграл , если область ограничена линиями . Вычислить интеграл , если область интегрирования ограничена линиями .Тогда для функции существует двойной интеграл вида С помощью формул (3) каждой точке из области ставится в соответствие некоторая точка на координатной плоскости с прямоугольными координатами и . Формулы (2) называют формулами преобразования координат, а формулы (3) - формулами обратного преобразования. При сделанных предположениях можно доказать, что если функции (2) имеют в области непрерывные частные производные первого порядка и если определитель отличен в от нуля, (4) то для интеграла (1) справедлива формула замены переменных Определитель (4) называется функциональным определителем или Якобианом (по имени немецкого математика Якоби) функций по переменным и .В двойном интеграле перейдем к полярным координатам по формулам .Площадь плоской области равна двойному интегралу от дифференциала площади , распространенному на область . В прямоугольных декартовых координатах элемент площади выражается формулой , поэтому , где - Якобиан преобразования , переводящий область в область , то площадь Объем цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу - плоскостью и с боков - прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей из плоскости область , вычисляется по формуле Если - область плоскости , по которой распределена масса с поверхностной плотностью , то масса этой области (пластинки) определяется формулойОбъем криволинейного цилиндра, ограниченного сверху поверхностью , снизу плоскостью и с боковых сторон цилиндрической поверхностью, у которой образующие параллельны оси , а направляющей служит контур области , вычисляется по формуле Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями и . Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями . Вычислить объем тела, ограниченного сверху поверхностью , снизу - плоскостью и с боков - круговым цилиндром . Вычислить объем тела, ограниченного сверху гиперболическим параболоидом , снизу - плоскостью и с боков - цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна , а направляющая - граница области , определяемая уравнениями: .В первой части данной работы рассмотрели понятие двойного интеграла, основные свойства двойных интегралов.
План
Содержание
Введение
1. Двойные интегралы
1.1 Понятие двойного интеграла
1.2 Условия существования двойного интеграла
1.3 Свойства двойного интеграла
1.4 Сведение двойного интеграла к повторному
1.4.1 Случай прямоугольной области
1.4.2 Случай криволинейной области
1.4.3 Примеры вычисления двойных интегралов сведением к повторному
1.5 Замена переменных в двойном интеграле
1.6 Двойной интеграл в полярных координатах
1.7 Приложения двойных интегралов
1.8 Применение двойного интеграла для вычисления объемов тел
2. Две задачи на вычисление объемов тел
2.1 Задача 1
2.2 Задача 2
Заключение
Литература
Введение
Тема «Двойной интеграл» входит в программу изучения курса высшей математики по всех высших учебных заведениях.
Целью работы является
1. рассмотреть понятие двойного интеграла, его основные свойства, 2. изучить методы вычисления двойных интегралов, 3. показать примеры вычисления, 4. рассмотреть применение двойного интеграла для вычисления объемов различных тел, 5. решить две задачи на вычисление объемов тел.
Вывод
В первой части данной работы рассмотрели понятие двойного интеграла, основные свойства двойных интегралов. Изучены методы вычисления двойных интегралов и приведены примеры. Также рассмотрено применение двойного интеграла для вычисления объемов различных тел.
Во второй части, согласно изученному теоретическому материалу из первой части, решены две задачи на вычисление объемов тел.
Список литературы
1. Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. Ч.2. - Минск, 1973
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-ч ч. Ч.2. - М.: Высш. шк., 1999
3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М: Наука, 1978 - 624 с.
4. Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. Для вузов. 5-е изд. - М.: Высшая школа, 2001 - 479 с.