Розвиток ідеї використання методу точкових відображень у дослідженні двовимірних динамічних систем з імпульсною дією. Аналітичний критерій стійкості n-імпульсних циклів. Дослідження властивості функції послідування. Дослідження спеціального класу систем.
Аннотация к работе
В останні роки зросла цікавість до систем з імпульсною дією. Цей метод зводить задачу якісного дослідження імпульсної динамічної системи до дослідження неперервної динамічної системи на основі спеціальної факторизації фазового простору. Використання цього методу у якісному дослідженні імпульсних систем обмежувалось розглядом або конкретних прикладів (Гаушус, Неймарк) або розглядом вузьких класів систем загального вигляду (Аматов, Аматова та ін.). Застосувати ці методи до двовимірних динамічних систем з імпульсною дією, фазовий простір яких є площина, а саме: 1) розвинути ідеї використання методу точкових відображень у дослідженні двовимірних динамічних систем з імпульсною дією. 2) на основі розвитку ідей використання методу точкових відображень до дослідження двовимірних динамічних систем з імпульсною дією отримано такі результати: а) отримано аналітичний критерій стійкості n-імпульсних циклів двовимірної динамічної системи з імпульсною дією на площині;У Розділі 3 досліджено особливості векторних полів, що породжують клас найпростіших двовимірних систем з імпульсною дією, а також розроблені спеціальні геометричні методи дослідження інтегральних множин найпростіших двовимірних динамічних систем з імпульсною дією. Для вирішення цієї проблеми запропоновано розглядати спеціальний допоміжний геометричний обєкт (двовимірний многовид D з вкладенимb у нього графами Г і L), який в деякому розумінні може бути стягнутий на інтегральну множину досліджуваної системи: Многовид D названо передінтегральним многовидом, граф Г - передфактор-сепаратрисою, а граф L - графом стягувань. На основі аналізу особливостей топологічної структури інтегральних множин двовимірних систем з імпульсною дією у випадку, коли , показано, що визначальну роль мають особливості їх структури, які породжуються вершинами МА, в яких М і А(М) нетрансверсальні. У § 3.3 сформульовано та доведено теорему, яка дозволяє по комбінаторно-топологічним властивостям двовимірної динамічної системи з імпульсною дією обчислити Ейлереву характеристику її передінтегрального многовиду: Теорема 3.3.1. На основі аналізу структури цього графу і алгоритму співставлення йому підстановки дано означення геометричної реалізації підстановки: Доведено теорему про критерій геометричної еквівалентності підстановок.Суть методу фактор-множин полягає в тому, що досліджуваній імпульсній системі зіставляється деяка неперервна динамічна система і на основі її дослідження робляться висновки відносно поведінки імпульсної системи.
Вывод
У дисертації отримані такі основні результати: - дано означення і запропоновані загальні топологічні методи дослідження абстрактних динамічних систем з імпульсною дією. Ці методи названі: метод фактор-множин і метод точкових відображень.
Суть методу фактор-множин полягає в тому, що досліджуваній імпульсній системі зіставляється деяка неперервна динамічна система і на основі її дослідження робляться висновки відносно поведінки імпульсної системи.
Суть методу точкових відображень полягає в тому, що досліджуваній імпульсній системі зіставляється деяка дискретна динамічна система і на основі її дослідження робляться висновки відносно поведінки імпульсної системи: - за допомогою метода точкових відображень отримані аналітичні критерії стійкості та нестійкості періодичних розвязків двовимірних систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією;
- досліджені особливості векторних полів, які породжують спеціальний клас двовимірних систем з імпульсною дією - найпростіші двовимірні системи з імпульсною дією;
- за допомогою методу фактор-множин отримані конструктивні алгоритми, які дозволяють геометричними методами досліджувати топологічну структуру їх інтегральних множин і на цій основі за допомогою відомих результатів якісної теорії неперервних динамічних систем на двовимірних многовидах представлено повний опис можливої поведінки траєкторій спеціального класу двовимірних імпульсних систем;
- розроблені спеціальні алгебраїчні та теоретико-графові методи дослідження двовимірних систем з імпульсною дією дають можливість обчислювати деякі якісні характеристики найпростіших двовимірних систем з імпульсною дією.
Отримані при цьому алгебраїчні та теоретико-графові результати мають самостійний інтерес і можуть бути основою для подальших досліджень.
Список литературы
Результати дисертації викладено у 3 статтях, опублікованих у фахових виданнях, препринті, 2 статтях, опублікованих у збірнику праць Інституту математики НАН України та у 3 тезах міжнародних конференцій.
Структура і обсяг роботи
Дисертація складається зі вступу, 4 розділів, висновків, списку з 94 використаних літературних джерел з та додатків.
Дисертація у повному обсязі складається зі 150 сторінок, обсяг додатків 100 сторінок.
2. Основний зміст
У вступі дається огляд літератури за темою дисертації, обґрунтовано необхідність дослідження, його актуальність та наукова новизна.
У Розділі 1 дано узагальнення поняття неперервної абстрактної динамічної системи, яке було названо абстрактною динамічною системою з імпульсною дією та запропоновані загальні методи їх дослідження: Наведено основні поняття теорії таких систем і запропоновано спеціальні методи їх дослідження. Ці методи названі автором методом фактор-множин та методом абстрактних точкових відображень.
Ідея методу фактор-множин полягає у співставленні системі з імпульсною дією деякої неперервної динамічної системи шляхом факторизації її фазового простору за допомогою оператора стрибка і у подальшому дослідженні цієї неперервної системи та особливостей перетину її траєкторій з деякою спеціальною підмножиною фазового простору цієї системи.
Фазовий простір цієї допоміжної системи названий інтегральною множиною динамічної системи з імпульсною дією, а фактор обєднання початкової та кінцевої множини стрибків - фактор-сепаратрисою.
Ідея методу абстрактних точкових відображень полягає у співставленні системі з імпульсною дією деякої дискретної динамічної системи і подальшому дослідженні цієї дискретної системи. Для цього введено відображення L, яке співставляє точці кінцевої множини стрибків точку першого перетину півтраєкторії досліджуваної системи з кінцевою множиною стрибків. Якщо , тоді якісне дослідження імпульсної динаміки може бути зведене до дослідження різницевого рівняння .
Виділено спеціальний клас двовимірних динамічних систем з імпульсною дією, що має властивості: а) фазовий простір яких є площина; б) початкова множина стрибків - М гомеоморфна колу; в) оператор стрибка є гомеоморфізмом; г) топологічна група є група і дія цієї групи визначається парою систем звичайних диференціальних рівнянь, заданих на компонентах звязку множини . Цей клас названо найпростіші двовимірні динамічні системи з імпульсною дією.1. Урманчев В.И. Методы исследования динамических систем с импульсным воздействием и “смертных динамических систем” // Укр. мат. журн. - 1992 - т. 44 № 11. - С. 1605-1613.
2. Урманчев В.И. Критерий устойчивости периодических решений двумерных разрывных динамических систем // Укр. мат. журн. - 1999 - т. 51 № 9. - С. 1262-1266.
3. Урманчев В.И. Качественное исследование разрывных динамических систем на плоскости с помощью метода точечных отображений. // Укр. матем. журнал - 2004 - т. 56 № 1. - С. 108-118.
4. Урманчев В.И. Динамические системы с импульсным воздействием на сфере. - Препринт / Ин-т матем. Украины. -Киев, 1990. -33 с . (Препр./АН УССР, Ин-т математики 90.15).
5. Урманчев В.И. Субподстановочное строение подстановок // Некоторые вопросы современной математики - Праці Інституту математики НАН України Київ 1998. С. 356-367.
6. Урманчев В.И. Исследование вложений геометрических реализаций планарных подстановок в плоскость// Некоторые вопросы современной математики - Праці Інституту математики НАН України, Київ 1998. С. 368-384.
7. Урманчев В.И. Критерий планарности геометрических интерпретаций перестановок // Тезисы докладов ІХ Международной конференции по топологии и ее приложениям. - Киев Ин-т матем. АН Украины, 1992 - С. 43.
8. Урманчев В.И. Исследование абстрактных динамических систем с импульсным воздействием с помощью метода фактормножеств // Тези доповідей Міжнародної конференції, присвяченої памяті академіка М.П. Кравчука , - Київ-Луцьк: Ін-т математики АН України, 1992. - С. 200.
9. Урманчев В.И. Эйлерова характеристика интегрального многообразия простейшей двумерной динамической системы с импульсным воздействием//Тезисы международной конференции по топологии и ее приложениям. Киев: Институт математики НАН Украины, Киевский национальный университет им. Тараса Шевченко, 1995. - С. 49.