Анализ движения математического маятника без трения в случае произвольных колебаний. Построение численно соответствующих кривых движения при различных начальных условиях. Закон движения маятника в эллиптических функциях, графики его траекторий.
Аннотация к работе
Выявляя траекторию движения, мы увидели, что при разных условиях, например, произвольные или малые колебания, с трением движение маятника или без, различаются уравнения движения математического маятника, способ решения уравнений и графики траекторий. В своей работе я рассмотрю движение математического маятника без трения в случае произвольных колебаний. Составить уравнение движения математического маятника без трения. Элементы новизны нашей работы заключаются в том, что мы изучили движения математического маятника при произвольных колебаниях без трения и построили график движения. По структуре работа представлена в таком виде: В 1-ом разделе рассказывается об устройстве математического маятника, составлении уравнения движения его.Пусть материальная точка массы m подвешена на нерастяжимой нити или стержне длины l (весом которых пренебрегаем) так, что может двигаться по дуге окружности (рис.). Выведя маятник из положения равновесия OA в положение OB (?<?/2), предоставим маятник самому себе, не сообщая ему начальной скорости. Маятник перейдет в симметричное положение OB’, потом вернется в положение OB и т.д. Для определенности рассмотрим движение точки M по дуге AB, отсчитывая пройденный путь s=АВ=l? от точки А, а время t-от момента прохождения маятника через положение равновесия. Это уравнение образуется из уравнения движения MW=F N, (1) где F - действующая на точку активная сила, а N - реакция связи.Для решения используем метод понижения порядка. =p, p=p (?) - делаем замену; применяем замену;В интегральном исчислении , эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно и Леонардом Эйлером . В современном представлении, эллиптический интеграл - это некоторая функция , которая может быть представлена в следующем виде: , где - рациональная функция двух аргументов, - квадратный корень из многочлена 3 или 4 степени с несовпадающими корнями, - константа. В общем случае, эллиптический интеграл не может быть выражен в элементарных функциях; исключением являются случаи, когда P имеет повторяющиеся корни или когда R (x,y) не содержит нечетных степеней y. Однако для каждого эллиптического интеграла существует механизм приведения его к сумме элементарных функций и трех нормальных эллиптических интегралов (то есть эллиптических интегралов первого, второго и третьего рода). Прежде чем определить сами интегралы, необходимо ввести наименования для аргументов: · ? - модулярный угол (иногда модулярный угол обозначается лигатурой );Построим численно кривые движения математического маятника при различных начальных условиях используя закон движения маятника, выраженный через эллиптическую функцию . Возьмем =Pi/4 и для точности определения зависимости () возьмем t1=0.10, t2=0.20, t3=0.30.Мы познакомились с такими понятиями, как "математический маятник", "эллиптическая функция" и "эллиптический интеграл"… Отметили, как численно строить соответствующие кривые движения при различных начальных условиях.Обыкновенные дифференциальные уравнения Сыктывкар, 2012 Боровой А., Херувимов А. Основной курс теоретической механики.
План
Оглавление
1§. Введение
2§. Составление уравнения движения математического маятника
3§. Решение уравнения
4§. Эллиптический интеграл
5§. Закон движения маятника (в эллиптических функциях)