Дослідження стійкості і стабілізація імпульсних динамічних систем випадкової структури із скінченною післядією - Автореферат

Вплив марковських збурень на стійкість імпульсних динамічних систем можна знайти в монографіях Королюка В.С., Скорохода А.В., Колмановського В.Б., Шайхета Л.Ю., Хасьмінського Р.З., Каца І.Я. Принципово новим моментом стало запропоноване Кацем І.Я. припущення про розриви фазових траєкторій динамічних систем у випадкові моменти часу, у результаті яких здійснюються внутрішні зміни структури системи за законами марковських ланцюгів. Поставлена мета зумовлює розвязання наступних задач: - розробка якісної теорії асимптотичної стохастичної стійкості в цілому та асимптотичної р-стійкості в цілому імпульсних динамічних систем із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень; доведено теореми асимптотичної стохастичної стійкості в цілому імпульсних динамічних систем із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень; Отримані результати із стійкості в цілому, оптимальної стабілізації можуть бути використані для моделей імпульсних динамічних систем із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень, із теорії оптимального управління можуть бути використані для оптимального керування фізичними обєктами та технічними системами-динамічними системами, що функціонують у звязці.

При виконанні дисертаційної роботи опубліковано двадцять одна робота: · Дванадцять статей: ? сім робіт у фахових виданнях [1] - [7] ;

§ пять робіт у наукових збірниках [8] - [12] .

· Девять тез доповідей на міжнародних конференціях [13] - [21] .

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновку, списку використаної літератури із 93 назв та двох додатків, де приведено програмний продукт, і містить 176 сторінок.

Основний зміст

У вступі обґрунтовано актуальність проблематики дисертації, сформульовано мету, приведено основний зміст дисертаційної роботи за розділами із висвітленням найважливіших результатів.

У першому розділі дисертаційної роботи зроблено огляд наукових публікацій із теорії стійкості та стабілізації динамічних систем, з математичної теорії оптимального управління.

У другому розділі для дослідження асимптотичної стохастичної стійкості в цілому, асимптотичної р-стійкості в цілому динамічних систем із післядією з урахуванням марковських збурень використано апарат функціоналів Ляпунова-Красовського та поняття інфінітезимального оператора в силу системи. Нехай

-ймовірнісний базис; -феллерівський марковський процес із значеннями в метричному просторі з перехідною ймовірністю ; ,-феллерівський ланцюг Маркова зі значеннями в метричному просторі з перехідною ймовірністю на -ому кроці .

Нехай перехідний процес динамічної системи із скінченною післядією описується диференціально-функціональним рівнянням (ДФР)

. (1) з імпульсними марковськими перемиканнями

, (2)

Де

, і з початковою умовою

. (3)

Тут вектор

- відхилень дійсних значень координат регульованої m-вимірної величини від його незбуреного розвязку

; , , , -простір Скорохода неперервних справа функцій, що мають лівосторонні границі. Величина

-r-вимірний керуючий вплив. Випадкова зміна структури динамічної системи викликається скалярним чисто розривним марковським процесом , що допускає розклад: , (4)

, . (5)

Можна розглядати і простий марковський ланцюг із скінченним числом станів і відомими параметрами

: : , . (6)

Припустимо, що вимірні за сукупністю змінних відображення, функціонали та , задовольняють за третім аргументом умові Ліпшіца : , (7) і умову

, (8) рівномірно за аргументами ; ; , .

Означення 1. Випадковий процес назвемо сильним розвязком задачі Коші (1), (3) з імпульсним перемиканням (2), якщо погоджено з потоком -алгебр ; , задовольняє інтегральному рівнянню

(9) для всіх

, , , при цьому

(10) для всіх і .

Задамо умовний закон розподілу початкового стану зміненої структури системи

, (10?) де -умовна щільність заданого розподілу.

Єдине управління варто вибирати як мінімального значення функціоналу

, (11)

Означення 2. Управління , що задовольняє (11), назвемо оптимальним у розумінні оптимальної стабілізації сильного розвязку (1)-(3).

Означення 3. Дискретний оператор Ляпунова на послідовності вимірних скалярних функцій , для ДФР (1) з імпульсним перемиканням (2) визначається співвідношенням

. (12)

Означення 4. Функціоналом Ляпунова-Красовского для системи випадкової структури (1), (2) назвемо послідовність невідємних функціоналів , якщо: 1) при всіх , ; , визначений вираз (12);

2) при

, 3) при

, причому й неперервні й монотонні.

Доведено наступні твердження стійкості в цілому.

Теорема 1. Нехай: 1) ;

2) виконано умови Ліпшіца (7)-(8) ;

3) існують послідовності функціоналів Ляпунова-Красовского й , , такі, що в силу системи (1)-(3) . Тоді система випадкової структури (1)-(3) асимптотично стохастично стійка в цілому.

Теорема 2. Нехай виконані умови 1), 2) теореми 1, а в силу системи (1)-(3) для послідовності функціоналів Ляпунова-Красовского має місце нерівність для всіх , ; , , . Тоді імпульсна система (1)-(3) стійка за ймовірністю в цілому.

Теорема 3. Нехай виконані умови 1)-3) теореми 1, причому послідовність функціоналів Ляпунова-Красовского , , задовольняють нерівностям для деяких

, , (13) при , й для всіх , ; , . Тоді імпульсна система (1)-(3) асимптотично -стійка в цілому.

Теорема 4. Нехай виконані всі умови теореми 1 і існує таке число , що , . Тоді імпульсна система (1)-(3) експоненціально -стійка в цілому.

Припустимо, що імпульсна система має вигляд

, (14)

, (15)

Означення 5. Назвемо імпульсну систему

, (16)

, (17) системою першого наближення для (14)-(15).

Визначимо С-інфінітезимальний оператор рівністю

, .

Введемо інфінітезимальний оператор у силу (16) за третім аргументом

, Введемо різницевий оператор, що повязаний з імпульсною дією (15)

.

Доведено теореми стійкості за першим наближенням для СДР (17) .

Теорема 5. Нехай: 1)

;

2) виконано умови на коефіцієнти системи (16)-(17) про існування розвязку;

3) марковський процес стохастично неперервний;

4) існує такий невідємний функціонал , що ;

;

, , , , , , , тоді імпульсна система (16)-(17) стійка за ймовірністю в цілому.

Теорема 6. Нехай: I) здійсненно умови теореми 5;

II) існує число , що при всіх , , , дискретний недодатний оператор

.

Тоді імпульсна незбурена система (16)-(17) асимптотично стійка в цілому.

Теорема 7. Нехай: 1) для імпульсної незбуреної системи (16)-(17) існує функціонал Ляпунова такий, що , , , , , , , , ;

2)

;

3) збурення й задовольняють рівномірно за умову Ліпшіца типу (81)

, де -досить мале додатне число. Тоді збурена імпульсна система (14)-(15) експоненціально -стійка в цілому.

У третьому розділі визначені достатні умови оптимальної стабілізації імпульсних динамічних систем із післядією з урахуванням марковських збурень, використовуючи другий метод Ляпунова в поєднанні із принципом динамічного програмування.

Доведено основне твердження про оптимальну стабілізацію.

Теорема 8. Нехай для імпульсної динамічної системи із скінченною післядією (1)-(3) за умови стрибка (10?) : 1) існує додатно визначений функціонал за такий, що послідовність функціоналів стабілізація динамічний система марковський

, є функціоналами Ляпунова, і задана послідовність r-вимірних функцій-управлінь

, , , , , , причому , вимірні за всіма аргументами;

2) послідовність в області

, , , , допускає нескінченно малу верхню та нескінченно велику нижню межі;

3) послідовність функціоналів , за , за критерієм (13) є додатно визначеною для , ;

4) послідовність слабких інфінітезимальних операторів у силу системи (1) для , , що обчислені при

, задовольняє умові

, 5) величина досягає мінімуму при

, тобто .

Тоді управління , , здійснює стабілізацію розвязку задачі Коші (1), (3) з імпульсним збуренням (2) до асимптотичної стійкості за ймовірністю, причому виконується рівність

.

Якщо на ймовірнісному базисі задана керована лінійна стохастична система, що описується імпульсними диференціально-різницевими рівняннями із скінченною післядією для

, (18) з імпульсними марковськими перемиканнями

, (19)

, , та з початковими умовами

; , . (20)

Нехай умова стрибка фазового вектора в момент зміни структури системи за рахунок переходу в є лінійною

, (21)

Де

-незалежні випадкові величини, , , - - матриці. Якість перехідного процесу оцінюється квадратичним функціоналом

, (22) де , - симетричні матриці розмірності й .

Оптимальний функціонал Ляпунова-Красовского шукається у вигляді

, де , , додатно визначені симетричні матриці .

Нехай описує марковський ланцюг із скінченним числом станів , і , ,-феллерівський ланцюг Маркова із значеннями в метричному просторі із перехідною ймовірністю на k-ому кроці , уведемо позначення

, , , , .

Знайдено оптимальне управління при

, Перемиканнях

, : . (23)

Одержано систему матричних квадратних рівнянь для визначення шуканих матриць , , де, , , відповідає напіввідрізку :

. (24)

Теорема 9. Нехай система матричних квадратних рівнянь (24) має розвязки, які є додатно визначеними матрицями порядку

, ,…, , , ,…, , , .

Тоді управління (23) надає розвязок задачі про оптимальну стабілізацію системи ДРР (18)-(19) з умовами стрибка (20) і критерієм оптимальності (22), причому

, відповідають напіввідрізкам .

Якщо відкинути імпульсні перемикання (2), то матимемо твердження.

Теорема 10. Нехай система матричних квадратних рівнянь

, має розвязки, які задані додатно визначеними матрицями

, , … , ; , , … , .

Тоді управління

(25) надає розвязок задачі про оптимальну стабілізацію системи ДРР (18) із початковими умовами

; , (26) з умовою стрибка (21) і критерієм оптимальності

, Причому .

Теорема 11. Нехай коефіцієнти , , системи ДРР (18) неперервні в області , і задані початкові умови (26), тоді оптимальний функціонал Ляпунова

визначається із наступного нелінійного інтегрального рівняння

, а оптимальне управління при цьому має вигляд (25) .

Можливість алгоритмічного розвязання задачі про оптимальну стабілізацію лінійних систем ДР (18),(20) при розкривається введенням малого параметра.

У четвертому розділі сформульована загальна постановка задачі оптимального управління для динамічних систем неперервного виду, зроблена класифікація задач оптимального управління, акцентовано увагу на необхідність використання універсального методу розвязування-принципу максимуму Понтрягіна, сформульовано його для задачі Майера.

Нехай рух керованого обєкта можна описати наступним диференціальним рівнянням

, (27) де f(x,u,t)-деяка n-вимірна вектор-функція, визначена для будь-яких значень змінних x,u,t, неперервна за аргументами x,u, і разом з функцією кусково-неперервна за t, , , . (28)

Задаються крайові умови: (29)

Необхідно при допомозі функції u(t) так скерувати рух системи, щоб перевести її із стану x0 до стану x1, мінімізуючи функціонал J(u), зокрема для задачі Майєра

. (30)

Постановка задачі. Необхідно знайти керування u(t) і траєкторію x(t), які задовольняють умовам (27)-(29) і надають мінімум функціоналу (30).

Сформулюємо принцип максимуму даної задачі.

Теорема 12. Для того, щоби керування u(t) і відповідна йому траєкторія x(t) були оптимальними, необхідно, щоб існувала ненульова, неперервна вектор-функція ?(t)={ ?0(t), ?1(t), ?2(t),…, ?n(t)}, яка відповідає за u(t) і x(t) системі Гамільтона: i=0,1,…,n, де і при цьому виконувалися умови: 1. функція Гамільтона як функція аргументу u досягає максимуму в точці u= u(t), тобто при "t I [t0,t1];

2. функція недодатня.

В підрозділі 4.4 одержано достатні умови оптимального управління динамічними системами із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень. Нехай на ймовірнісному базисі задана система диференціально-функціональних рівнянь із скінченною післядією

, (35) з початковими умовами

, (36)

Де

, , , -простору кусково-неперервних функцій , , з нормою

;

Функціонал

: , ;

-керування є функціоналом за другим аргументом, вимірним відносно борелевської -алгебри у просторі . Випадкова зміна структури динамічної системи (35) викликається шляхом введенння в функціонал скалярного чисто розривного марковського процесу , який допускає розклад (4), (5). Поряд розглянуто простий марковський ланцюг із скінченним числом станів і відомих параметрів

: при розкладі (6).

Нехай -деяка функція на відрізку [ ] така, що функція для і фіксованому . Розглянемо функціонал

, : , . (37)

Через -позначено клас функціоналів , яким відповідна функція (37) .

Інфінітезимальним оператором в точці назвемо вираз

.

Лема 1. Нехай: 1) ; 2) - інфінітезимальний оператор в силу системи ДФР (35) , визначений при з початковою умовою

.

Тоді для має місце рівність

.

Задача оптимального керування полягає в тому, що із множини допустимих керувань треба вибрати керування , що мінімізує функціонал

, де , , -розвязок задачі (35)-(36) на керуванні .

Лема 2. Нехай: 1) ; 2) , , виконується рівність

, з крайовою умовою , -інфінітезимальний оператор в силу системи ДФР (35). Тоді функціонал можна вибрати у вигляді

, де -розвязок задачі (35)-(36) при з початковою умовою .

Теорема 13. (достатні умови оптимальності) Нехай: 1) існує функціонал ;

2) керування , яке задовольняє , умовам

, , (38)

, де -інфінітезимальний оператор в силу (35), -функція на така, що , . Тоді керування є оптимальним для критерію якості , причому , , маємо

.

Зауваження. Умову (38) записують у вигляді рівняння Беллмана

.

В підрозділі 4.5 зроблено постановку задачі оптимального управління динамічною траловою системою. Для математичного опису промислового рибальського траулера, припускаємо: нехай морське рибальське судно-траулер для лову риби використовує трал, який розглянуто з механічної точки зору: точка А-траулер, центр маси судна, точка D-трал, центр маси трала; точка А звязана із точкою D стержнем, тобто трал зчеплений із траулером стержнем.

Нехай точка А-траулер рухається прямолінійно із швидкістю u(t). Заданий фізичний обєкт являє собою математичну модель-динамічну тралову систему і рівняння її руху-рівняння Лагранжа другого роду, у розумних припущеннях матимуть наступний вигляд: (39)

Введемо заміну , покладемо . Після лінеаризації в околі стаціонарної точки , враховуючи істотно мале значення , матимемо: (40)

Для (40) розвязано: І) Задачу оптимальної швидкодії із крайовими умовами: та де t0 = 0. (41)

На управління накладено наступні обмеження: 1 ? u ? 3,5 (42)

Необхідно мінімізувати функціонал

J=Т-t0 за умовами (41)-(42). Знайдено управління та траєкторію де та мають відповідні вирази. Під дією знайденого управління здійснюється швидкодіюче наведення трала на косяк риби.

ІІ) Задача оптимальних витрат енергетичних ресурсів із крайовими умовами

Та

де t0 = 0, Т = 2. На управління накладене обмеження (42), необхідно мінімізувати функціонал: J = .

Знайдено оптимальні траєкторію та управління. Результат: під дією управлінь при мінімальних витратах енергетичних ресурсів здійснюється управління траулером як лінійним обєктом.

Зроблено дослідження стійкості тралової системи: 1) При допомозі другого методу Ляпунова отримано умови стійкості в цілому.

2) Оцінено параметр із матричного рівняння Ляпунова .

Висновки про необхідність та актуальність проектування компютерної (програмної) системи оптимального управління (КСОУ) динамічною траловою системою. Описано структуру КСОУ динамічної тралової системи. Зроблено висновок про необхідність проектування двох варіантів КСОУ на основі: I) Visual Basic for Applications; II) Visual Studio C . Охарактеризована структура спроектованої компютерної системи оптимального управління, вказані вірогідні елементи Головного меню КСОУ тралової системи. Зроблено порівняльну характеристика програмних модулів КСОУ на: ? Visual Basic for Applications, і ? Visual Studio C .

КСОУ може бути використана: · для подібних динамічних систем-фізичних обєктів та технічних систем, зокрема, для тих, які перебувають в динамічній звязці елементів;

· для впровадження на підприємствах Міністерства водного господарства України.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі отримано умови стійкості в цілому імпульсних динамічних систем із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень, стабілізації таких динамічних систем до режиму стійкості за ймовірністю в цілому під дією керування за мінімізацією критерію якості для перехідного процесу, спроектовано та розроблено програмне забезпечення для математичних моделей керованих динамічних систем, досліджено математичну модель динамічної звязки «траулер-трал».

Конкретними науковими результатами проведеного дослідження є: 1. доведено теореми асимптотичної стохастичної стійкості в цілому та асимптотичної р-стійкості імпульсних динамічних систем із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень;

2. доведено основні теореми стабілізації моделей імпульсних динамічних систем із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень;

3. отримано достатні умови задачі оптимального управління імпульсними динамічниими системами із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень;

4. зроблено повне дослідження математичної моделі динамічної тралової системи;

5. спроектовано КСОУ-програмний продукт оптимального управління динамічною траловою системою.

Результати дисертації із теорії стійкості, оптимальної стабілізації можуть бути використані для імпульсних динамічних систем із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень, із теорії оптимального управління можуть бути використані для оптимального керування фізичними обєктами та технічними системами. Створені програмні модулі можна використати для програмного керування таких динамічних систем. Математична модель динамічної тралової системи може використовуватися як модельний приклад на заняттях із студентами у відповідних дисциплінах, які повязані із дослідженням операцій.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Мусуривский В. И. О математических основах функционирования компьютерной системы оптимального управления траулером. Часть І / В.И. Мусуривский // Проблемы управления и информатики. - 2006. - №3. - С. 57-64.

2. Мусуривский В.И. О математических основах функционирования компьютерной системы оптимального управления траулером. Часть ІІ / В.И. Мусуривский // Проблемы управления и информатики. - 2006. - №4. - С. 72-81.

3. Мусуривский В.И. Сравнительная характеристика программных модулей КСОУ некоторыми управляемыми объектами. / В.И. Мусуривский // Проблемы управления и информатики. - 2007. - №4. - С. 82-91.

4. Королюк В.С. Устойчивость динамических систем с последействием с учетом марковских возмущений / В.С. Королюк , В.И. Мусуривский, И.В. Юрченко // Кибернетика и системный анализ. - 2007. - № 6. - C.71-83.

5. Ясинський В.К. Структура КСОУ динамічної тралової системи / В.К. Ясинський, В.І. Мусурівський // Вісник Хмельницького національного університету. Сер.Технічні науки - 2007. - №2. - т.2. - С. 54-61.

6. Королюк В.С Стабилизация импульсных динамических систем с конечным последействием при наличии марковских параметров. Часть І / В.С. Королюк , В.И. Мусуривский, В.К. Ясинский // Проблемы управления и информатики. - 2008. - №1. - С. 16-35.

7. Королюк В.С. Стабилизация импульсных динамических систем с конечным последействием при наличии марковских параметров. Часть ІІ / В.С. Королюк , В.И. Мусуривский, В.К. Ясинский // Проблемы управления и информатики. - 2008. - №3. - С. 5-20.

8. Мусурівський В.І. Про дослідження деяких керованих процесів і створення Програмних систем керування / В.І. Мусурівський // Науковий вісник Чернівецького торговельно-економічного інституту КНТЕУ. - 2003. - Вип.4. - С. 437-444.

9. Мусурівський В.І. Про програмні засоби розвязання нелінійних систем для задачі оптимального управління траулером / В.І. Мусурівський // Науковий вісник Буковинського державного фінансово-економічного інституту. - 2003. - Вип.4. - С. 335-338.

10. Ясинський В.К. Про оцінку стійкості динамічної тралової системи / В.К. Ясинський, В.І. Мусурівський // Збірник наукових праць Міжнародної конференції «Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании’2007».-Одеса: Одеський національний морський університет. Сер.Математика-2007.-т.5.-С.52-57.

11. Ясинський В.К. Про метод розвязання задачі оптимального управління для задачі Майєра / В.К. Ясинський, В.І. Мусурівський // Збірник наукових праць «Крайові задачі диференціальних рівнянь».-Чернівці: ЧНУ.-2008.-т.16.-С.314-324.

12. Ясинський В.К. Достатні умови оптимальності задачі керування динамічними системами із скінченною післядією / В.К. Ясинський, Л.І. Ясинська, В.І. Мусурівський // Збірник наукових праць «Крайові задачі диференціальних рівнянь».-Чернівці: ЧНУ-2008.-т.16.-С.324-330.

13. Мусурівський В.І. Про створення системи прийняття рішень для задачі оптимального управління траулером / В.І. Мусурівський // Збірник наукових праць V Всеукраїнської науково-практичної конференції «Компютерне моделювання та інформаційні технології в науці, економіці та освіті».-Черкаси: ІСУЕП.-2003.-С. 101-103.

14. Мусурівський В.І. Про математичні основи функціонування компютерної системи оптимального управління деякими керованими обєктами / В.І. Мусурівський // Збірник наукових праць Міжнародної науково-практичної конференції «Інтелектуальні системи прийняття рішень та інформаційні технології».-Чернівці: ЧФЮІ.-2004.-С. 81-82.

15. Королюк В.С. Дослідження стійкості динамічних систем із післядією із урахуванням марковських збурень / В.С. Королюк, В.І. Мусурівський // Збірник наукових праць Міжнародної конференції «PDMU-2007».-Чернівці: ЧНУ ім.Федьковича.-2007.-С. 227.

16. Ясинський В.К. Про оцінку стійкості динаміки тралової системи / В.К. Ясинський, В.І. Мусурівський // Збірник наукових праць Міжнародної конференції «DSMSI-2007».-Київ: КНУ-2007.-С. 258.

17. Мусурівський В.І. Аналітична оцінка програмних складових КСОУ тралової системи / В.І. Мусурівський, Ю.В. Мусурівська // Збірник наукових праць IX Міжнародної науково-технічної конференції «SAIT-2007».- Київ: НТУУ«КПІ».-2007.-С. 195.

18. Королюк В.С. Стійкість за першим наближенням імпульсних динамічних систем із скінченною післядією при наявності марковських параметрів / В.С. Королюк, В.К. Ясинський, В.І. Мусурівський // Збірник наукових праць Міжнародної конференції «PDMU-2008»- Рівне: РНУ.-2008.-С. 139-141.

19. Ясинська Л.І. Принцип Беллмана керування динамічними системами із скінченною післядією / Л.І. Ясинська, В.І. Мусурівський // Збірник наукових праць XII Міжнародної конференції ім. акад. М.Кравчука - Київ: НТУУ «КПІ». - 2008.-С. 148.

20. Ясинський В.К. Стабілізація динамічних систем із скінченною післядією з марковськими збуреннями / В.К. Ясинський, В.І. Мусурівський // Збірник наукових праць XII Міжнародної конференції ім. акад. М.Кравчука- Київ: НТУУ «КПІ». - 2008.-С. 153.

21. Ясинський В.К. Про умови асимптотичної стійкості динамічних систем / В.К. Ясинський, В.І. Мусурівський // Збірник наукових праць X Міжнародної науково-технічної конференції «SAIT-2008» - Київ: НТУУ «КПІ». - 2008.-С. 159.

АННОТАЦІЯ

Мусурівський В.І. Дослідження стійкості і стабілізація імпульсних динамічних систем випадкової структури із скінченною післядією.-Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.05.02- математичне моделювання та обчислювальні методи -Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, Чернівці, 2009.

Дисертаційна робота присвячена розвязанню актуальних проблем розробки якісної теорії стійкості в цілому імпульсних динамічних систем із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень, стабілізації таких динамічних систем до режиму стійкості за ймовірністю в цілому під дією керування за мінімізацією критерію якості перехідного процесу, використанню теорії оптимального управління для математичних моделей керованих динамічних систем, дослідженню математичної моделі динамічної тралової системи, проектуванню програмного забезпечення для такої моделі.

Доведено теореми асимптотичної стійкості в цілому та асимптотичної р-стійкості, оптимальної стабілізації імпульсних динамічних систем із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень. Сформульовано необхідні умови існування та єдиності розвязку задачі оптимального управління динамічними системами, отримано достатні умови оптимального управління імпульсними динамічними системами із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень.

Ключові слова: система диференціальних рівнянь, система функціонально-диференціальних рівнянь, система диференціально-різницевих рівнянь, асимптотична стійкість в цілому, р-стійкість, оптимальна стабілізація, оптимальне управління, динамічна система, імпульсна динамічна система, динамічна тралова система, скінченна післядія, марковські збурення.