Розробка чисельно-аналітичного методу А.М. Самойленка для оцінки існування та наближеної побудови розв"язків нелінійних систем диференціальних рівнянь. Аналіз можливих періодів розривних циклів лінійних автономних імпульсних систем другого порядку.
Аннотация к работе
Основною метою роботи є встановлення умов існування та розробка нових чисельно-аналітичних алгоритмів наближеного знаходження розвязків нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь, імпульсних, диференціально-операторних та функціонально-диференціальних систем, які задовольняють нелокальні лінійні крайові обмеження, зокрема періодичних розвязків; встановлення умов існування періодичних розвязків та розвязків лінійних крайових задач для вироджених імпульсних систем.
Вывод
нелінійний диференціальний імпульсний
У дисертації розроблено і обґрунтовано новий метод дослідження існування та наближеної побудови розвязків крайових задач. Вперше розроблено елементи теорії вироджених диференціальних систем з імпульсною дією.
Основні результати, що виносяться на захист, такі: - розроблено і обґрунтовано модифікації чисельно-аналітичного методу А.М. Самойленка для дослідження існування та наближеної побудови розвязків нелінійних систем диференціальних рівнянь з параметрами, неявних систем диференціальних рівнянь, систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією, підпорядкованих нерозділеним багатоточковим крайовим умовам. Для згаданих вище типів задач розроблено алгоритми побудови розвязків у вигляді рівномірно збіжних послідовностей функцій, встановлено необхідні та достатні умови існування розвязків, знайдено оцінки похибки наближених розвязків;
- як для некритичного, так і для критичного випадків розроблено і обґрунтовано чисельно-аналітичний метод дослідження існування та наближеної побудови як періодичних розвязків нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь, так і розвязків, які задовольняють фредгольмові лінійні функціональні обмеження, встановлено необхідні та достатні умови існування розвязків, знайдено оцінки похибки послідовних наближень;
- як для некритичного, так і для критичного випадків розроблено і обґрунтовано метод дослідження існування і наближеної побудови як періодичних розвязків нелінійних диференціальних систем з імпульсною дією, так і розвязків, які задовольняють фредгольмові лінійні функціональні обмеження, встановлено необхідні та достатні умови існування розвязків, знайдено оцінки похибки наближених розвязків;
- розроблено і обґрунтовано метод дослідження існування та побудови періодичних розвязків нелінійних автономних диференціальних систем;
- розроблено і обґрунтовано метод наближеного інтегрування фредгольмових крайових задач для диференціальних систем із відхиляючим аргументом запізнюючого типу, встановлено необхідні та достатні умови існування розвязків, знайдено оцінки похибки наближених розвязків;
- як для некритичного, так і для критичного випадків розроблено і обґрунтовано методи дослідження існування і наближеної побудови як періодичних розвязків нелінійних систем диференціально-операторних рівнянь, так і розвязків, які задовольняють фредгольмові лінійні крайові умови, встановлено необхідні та достатні умови існування розвязків, знайдено оцінки похибки послідовних наближень;
- для квазілінійних систем рівнянь згаданих вище типів встановлено достатні умови існування періодичних розвязків та розвязків, які задовольняють фредгольмові лінійні крайові умови, і при відсутності збурення перетворюються на розвязки відповідних лінійних однорідних задач;
- знайдено можливі періоди розривних циклів лінійних автономних імпульсних систем другого порядку, встановлено коефіцієнтні умови їх існування;
- для лінійних імпульсних систем з виродженою матрицею при похідній, що зводяться до центральної канонічної форми, побудовано загальний розвязок, встановлено необхідні та достатні умови існування розвязків задачі Коші, періодичної та нетерової крайових задач і побудовано ці розвязки в аналітичному вигляді.
Список литературы
1. Korol I. On Polynomial Approximations to Solutions of Implicit Differential Equations / I. Korol // Miskolc Mathematical Notes. - 2002. - V 2. - P.113-122.
2. Король І.І. Чисельно-аналітичний метод інтегрування імпульсних багатоточкових крайових задач/ І.І. Король // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2003. - № 3. - С. 110-118.
3. Король І.І. Дослідження періодичних розвязків імпульсних систем з гамільтоновою лінійною частиною / І.І. Король // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2004. - №4. - С. 97-109.
4. Король І.І. Про новий підхід до інтегрування двоточкових крайових задач / І.І. Король // Науковий вісник Чернівецького університету: Збірник наукових праць. - 2004. - Вип. 228. Математика. - С. 36-41.
5. Король І.І. Про періодичні розвязки одного класу систем диференціальних рівнянь/ І.І. Король //Укр. мат. журн. - 2005.- Т. 57, № 4.- С. 483-495.
6. Король І.І. Чисельно-аналітичний метод дослідження періодичних розвязків диференціальних систем з імпульсною дією/ І.І. Король // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Математика. Механіка. - 2005. - Вип. 13. - С. 9-18.
7. Король І.І. Чисельно-аналітичний метод дослідження багатоточкових крайових задач для напівлінійних систем диференціальних рівнянь/ І.І. Король // Науковий вісник Ужгородського університету. Сер. матем. і інформ. - 2006. - Вип. 12-13. - С. 83-87.
8. Король І.І. Ще раз про чисельно-аналітичний метод послідовних періодичних наближень А.М. Самойленка. / І.І. Король, М.О. Перестюк // Укр. мат. журн. - 2006. - Т.58, № 4. - С.472-488.