Дослідження потенціалів взаємодії надстійких та сильно надстійких статистичних систем - Автореферат

Для потенціалів, що є інтегровними на нескінченності, умова стійкості забезпечує існування рівноважних станів системи для малих значень параметрів z (хімічної активності) і ? (оберненої температури). Для систем, що є надстійкими було отримано рівномірні оцінки на сімю кореляційних функцій і встановлено існування гіббсової міри для довільних значень параметрів z,?. Дисертацію виконано на кафедрі математичного аналізу механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка в рамках теми № 06БФ038-03 “Аналітичні та стохастичні методи дослідження динамічних систем” (номер держреєстрації 0106U005864) і у відділі математичної фізики Інституту математики НАН України в рамках тем “Методи математичної фізики моделей з сингулярними взаємодіями” (номер держреєстрації 0106U000111) та “Ймовірнісно-функціональні методи в статистичній механіці та їх застосування” (номер держреєстрації 0106U000503). надстійкість двочастинковий гратчастий апроксимований Метою дисертаційної роботи є знаходження достатніх критеріїв стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості класичних гратчастих і неперервних систем нескінченного числа частинок; знаходження обмежень на двочастинковий потенціал взаємодії між частинками, при яких апроксимовані величини такі, як тиск, кореляційні функції у скінченному обємі та кореляційні функції нескінченних систем, з будь-яким ступенем точності наближають відповідні класичні термодинамічні потенціали у неперервному випадку. Предметом дослідження є встановлення достатніх критеріїв стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості класичних неперервних систем нескінченного числа частинок; введення квазігратчастої апроксимації неперервних систем за допомогою розбиття неперервного евклідового простору на гіперкуби, що не перетинаються, та визначення відповідних термодинамічних величин; доведення збіжності апроксимованих величин до відповідних величин, що визначають неперервну систему.Означення 1 Взаємодія називається стійкою, якщо для будь-якої підсистеми з кількістю частинок n2 та набором координат існує константа B0 така, що (1) Умови (1), (2) є достатніми для побудови міри Гіббса системи нескінченного числа частинок в області малих значень параметрів та z, де T - температура системи, z - хімічна активність, яка безпосередньо повязана з густиною системи частинок, - константа Больцмана, що забезпечує перехід від температурної до енергетичної шкали. Але для того, щоб побудувати міру Гіббса (або іншими словами гіббсовий стан) у випадку системи нескінченного числа частинок для будь-яких додатних значень параметрів та z необхідно накласти додаткові обмеження на взаємодію між частинками. Означення 2 Взаємодія називається надстійкою, якщо для будь-якого розбиття на куби та будь-якої конфігурації існують такі константи Означення 3 Взаємодія називається надстійкою, якщо існують дві такі константи B0 та що для будь-якого наступне твердження є вірним: (6)1.• Зроблено огляд основних понять рівноважної статистичної механіки, повязаних з побудовою міри Гіббса в обмеженому обємі та на просторі нескінченних конфігурацій. Зроблено стислий огляд відомих достатніх критеріїв стійкості та надстійкості для взаємодії, що визначається лише двочастинковим потенціалом. Отримано нові достатні критерії стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості для взаємодії, що визначається двочастинковим потенціалом. 3.• Отримано достатній критерій стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості для взаємодії, що визначається сімєю багаточастинкових потенціалів.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Основні результати дисертації можна підсумувати таким чином.

1.• Зроблено огляд основних понять рівноважної статистичної механіки, повязаних з побудовою міри Гіббса в обмеженому обємі та на просторі нескінченних конфігурацій. Проаналізовано умови існування принаймні одного стану Гіббса та звязок цього факту з поняттям стійкої, надстійкої та посилено надстійкої взаємодії. Зроблено стислий огляд відомих достатніх критеріїв стійкості та надстійкості для взаємодії, що визначається лише двочастинковим потенціалом. Встановлено тісний звязок між дослідженням достатніх критеріїв стійкості взаємодії нескінченних систем і класичною теорією мінімізуючих мір в теорії потенціалу.

2. Отримано нові достатні критерії стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості для взаємодії, що визначається двочастинковим потенціалом. Перевагою отриманих критеріїв у порівнянні з результатами попередників (Добрушина, Рюеля) є встановлення точних значень констант та їх залежності від параметрів, що характеризують потенціал взаємодії.

3.• Отримано достатній критерій стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості для взаємодії, що визначається сімєю багаточастинкових потенціалів. Введено ряд допоміжних понять для формулювання цього результатату, які можуть бути застосовані і для доведення інших теорем, повязаних з багаточастинковою взаємодією. Проаналізовано приклад сімї багаточастинкових потенціалів, що визначає надстійку взаємодію і є певним узагальненням потенціалу Ленарда-Джонса для двочастинкової взаємодії, який досить часто застосовується у молекулярній фізиці.

4.• Введено принципово нове поняття квазігратчастої апроксимації неперервних систем для тиску і кореляційних функцій в обмеженому обємі та на просторі нескінченних конфігурацій. Розглянуто рівняння типу Кірквуда-Зальцбурга для кореляційних функцій апроксимованої системи по аналогії з аналогічними рівняннями для гратчастих систем. Доведено, що за умови посиленої надстійкості взаємодії апроксимовані тиск та кореляційні функції з будь-яким ступенем точності наближають відповідні класичні величини неперервних систем (результат стосовно кореляційних функцій на просторі нескінченних конфігурацій доведено лише для достатньо малих значень хімічної активності z).