Дослідження періодичних розв"язків в динаміці твердого тіла - Автореферат

Моделювання руху фізичних обєктів, засноване на запропонованих Ейлером аналітичних методах дослідження руху абсолютно твердого тіла, знаходить широке практичне застосування в багатьох конструкціях сучасної техніки - від найпростіших механізмів до космічних супутникових систем. Практична важливість розробок в динаміці твердого тіла та їх теоретична складність призвели до виникнення актуальних наукових напрямків, серед яких значне місце займає задача про рух твердого тіла навколо нерухомої точки. У задачі про рух твердого тіла навколо нерухомої точки важливе значення мають точні періодичні розвязки рівнянь Ейлера-Пуассона. Вони не тільки дозволяють вивчити загальні властивості руху твердого тіла, але й дають можливість аналітичними і якісними методами описати поведінку збурених розвязків, дослідити орбітальну стійкість періодичних рухів. Дослідження, результати яких представлено у дисертації, проводилися у відповідності з планами наукових досліджень відділів прикладної і технічної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України на 2001-2006 роки за бюджетними темами 1.1.4.6 "Розробка нових математичних методів дослідження сучасних задач аналітичної динаміки твердого тіла" (№0101U001093), “Якісні методи дослідження нелінійних механічних систем, їх розвиток та застосування до задач динаміки твердого тіла” (№0106U000045), виконаних згідно з постановою Бюро Відділення математики НАН України (наказ №9 від 06.12.2000, наказ №11 від 27.10.2005).Надана інформація про розвязки Стєклова, Горячева, Чаплигіна, Ковалевського, Гріолі, Докшевича, Коносевича-Поздняковича, Бобильова - Стєклова, Гесса, рухи фізичного маятника, інтегровні випадки, а також наведено роботи, у яких ці розвязки досліджувалися. У другому розділі наведено відомі методи топологічного аналізу і класифікації тривимірних інтегральних многовидів механічних систем, описано метод перетинів Пуанкаре, який є основним методом дослідження фазових траєкторій при компютерному моделюванні динамічних систем, розглянуто методи, які дозволяють обчислити та оцінити характеристичні показники для періодичних розвязків системи звичайних диференціальних рівнянь. Окремий розвязок задачі про рух твердого тіла наведемо у вигляді Без обмеження загальності будемо вважати цей розвязок-періодичним і покладемо , Запишемо лінеаризовану відносно систему рівнянь збуреного руху (рівняння у варіаціях) У третьому розділі для восьми періодичних розвязків (Стєклова, Горячева, Чаплигіна, Ковалевського, Гріолі, Докшевича і Коносевича-Поздняковича) рівнянь Ейлера-Пуассона визначено топологічні типи тривимірних інтегральних многовидів , яким належать ці розвязки, і типи двовимірних поверхонь перетину . В них зазначено: топологічний тип звязних компонент і ; незалежні параметри, які характеризують точні розвязки; число циклів періодичної траєкторії при послідовному поверненні на ; число траєкторій кожного розвязку на одній компоненті ; номери тих областей, яким належать параметри (a, b)=(A2/A1, A3 /A1) розглянутої сімї розвязків.В роботі вивчено основні якісні властивості восьми сімей періодичних окремих розвязків класичної задачі про рух важкого твердого тіла навколо нерухомої точки, знайдених В.О. Вперше визначено топологічні типи тривимірних інтегральних многовидів, яким належать відомі точні розвязки рівнянь Ейлера-Пуассона. Для всіх розвязків побудовано біфуркаційні діаграми і знайдено критичні значення h, g, при яких відбувається зміна топології ізоенергетичних поверхонь Q . Методом фазових перетинів виконано детальний компютерний аналіз траєкторної структури динамічної системи в околі точних періодичних розвязків рівнянь Ейлера-Пуассона. Обчислено матриці монодромії і їх мультиплікатори, обчислено характеристичні показники лінеаризованої системи рівнянь збуреного руху для періодичних розвязків без параметрів, знайдених Докшевичем, Коносевичем і Поздняковичем.

Основний зміст роботи

В роботі вивчено основні якісні властивості восьми сімей періодичних окремих розвязків класичної задачі про рух важкого твердого тіла навколо нерухомої точки, знайдених В.О. Стєкловим, Д.Н. Горячевим, С.О. Чаплигіним, Н. Ковалевським, Дж. Гріолі, А.Й. Докшевичем, Б.І. Коносевичем і Є.В. Поздняковичем. При цьому отримано наступні результати: 1. Вперше визначено топологічні типи тривимірних інтегральних многовидів, яким належать відомі точні розвязки рівнянь Ейлера-Пуассона. Для всіх розвязків побудовано біфуркаційні діаграми і знайдено критичні значення h, g, при яких відбувається зміна топології ізоенергетичних поверхонь Q . Зокрема доведено, що поверхні Q , які несуть розвязки Н. Ковалевського, гомеоморфні компактним многовидам S3, RP3, S1XS2; Стєклова, Горячева, Докшевича - RP3; Чаплигіна, Докшевича - S3; Гріолі, Коносевича-Поздняковича - S3, S1XS2.

2. В фазовому просторі задачі побудовано двовимірні поверхні перетинів Пуанкаре спеціального вигляду і вивчено їх біфуркації. Для точних розвязків вперше досліджено нерухомі (періодичні) точки відображень Пуанкаре, визначено біфуркаційну множину, що поділяє (h,g) на підобласті з різними типами перетинів. Методом фазових перетинів виконано детальний компютерний аналіз траєкторної структури динамічної системи в околі точних періодичних розвязків рівнянь Ейлера-Пуассона.

3. Вивчено залежність точних періодичних розвязків від параметрів, проведено аналітичний аналіз граничних і вироджених випадків. Обчислено матриці монодромії і їх мультиплікатори, обчислено характеристичні показники лінеаризованої системи рівнянь збуреного руху для періодичних розвязків без параметрів, знайдених Докшевичем, Коносевичем і Поздняковичем.

4. Вивчено якісні властивості однопараметричних сімей розвязків Ковалевського, Горячева і Чаплигіна. Обчислено характеристичні показники в залежності від параметра g. Досліджено властивості матриці монодромії, визначено інтервали орбітальної нестійкості. Вперше виявлено, що розвязок Чаплигіна нестійкий для всіх припустимих значень g, розвязок Горячева нестійкий для GI(3/8, 0.384922), розвязок Ковалевського нестійкий для GI(10/27, 0.39066)E(0.479117, 0.48851). Наведено таблиці поділяючих значень параметрів.

5. Вивчено якісні властивості двопараметричних сімей розвязків Стєклова, Докшевича, Гріолі. На площині безрозмірних параметрів (a, b) вилучено області динамічної нестійкості точних розвязків, побудовано криві резонансів (до 4-го порядку включно). Вперше дослідженнями граничних випадків (прецесій, маятникових рухів і рівномірних обертань) усунено неоднозначність визначення характеристичних показників для розвязків Стєклова і Докшевича. Дано якісний опис траєкторної структури фазового простору в околі точних періодичних розвязків.

Гашененко И.Н., Кучер Е.Ю. Анализ изоэнергетических поверхностей для точных решений задачи о движении твердого тела // Механика твердого тела. 2001. Вып. 31. С. 18-30.

Гашененко И.Н., Кучер Е.Ю. Характеристические показатели периодических решений уравнений Эйлера - Пуассона // Механика твердого тела. 2002. Вып. 32. С. 50-59.

Кучер Е.Ю. Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина // Механика твердого тела. 2003. Вып. 33. С. 33-39.

Kucher E.Yu. Lyapunovs exponents of periodic solutions in dynamics of rigid body // Proceedings of the 7th Conference on Dynamical Systems: Theory and Applications. Poland, Јуdџ, December, 8-11, 2003. Vol. 1. P. 353-360.

Kucher E.Yu. Qualitative analysis of periodic solutions in rigid body dynamics // Proceedings of the 8th Conference on Dynamical Systems: Theory and Applications. Poland, Јуdџ, December, 12-15, 2005. Vol. 2. P. 745-752.

Кучер Е.Ю. Моделирование динамики твердого тела в окрестности периодических решений Горячева и Чаплыгина // Устойчивость, управление и динамика твердого тела. Тезисы докл. 8-й межд. конф. Донецк: ИПММ НАНУ, 2002. С.70.

Кучер Е.Ю. О малых возмущениях периодических решений уравнений Эйлера-Пуассона // Классические задачи динамики твердого тела. Тезисы докл. межд. конф. Донецк: ИПММ НАНУ, 2004. С.42.

Кучер Е.Ю. Анализ неустойчивых периодических решений уравнений Эйлера-Пуассона // Устойчивость, управление и динамика твердого тела. Тезисы докл. 9-й межд. конф. Донецк: ИПММ НАНУ, 2005. С.85-86.

Kucher E.Yu. Qualitative analysis of periodic solutions in rigid body dynamics // Proceedings of the 8th Conference on Dynamical Systems: Theory and Applications. Poland, Јуdџ, December, 12-15, 2005. Abstracts. P.100.