Метод нерівноважних кластерних розкладів побудови розв"язку ланцюжка рівнянь Боголюбова на випадок квантових систем частинок. Доведення теореми існування та єдиності кумулянтного зображення розв"язку початкової задачі ланцюжка рівнянь квантових систем.
Аннотация к работе
Дисертаційна робота належить до одного з напрямків інтенсивного розвитку сучасної математичної фізики - теорії еволюційних рівнянь багаточастинкових систем. В останні роки у звязку із розвитком нано-та біотехнологій спостерігається значний прогрес у математичному моделюванні багатокомпонентних систем різної природи, зокрема, квантових систем, для яких актуальною проблемою є розвиток математичного і чисельного аналізу кінетичних рівнянь. При дослідженні таких рівнянь виявилось, що існує цілий ряд аналітичних проблем, які не можуть бути розвязані відомими методами функціонального аналізу. кластерний квантовий рівняння кумулянтний Нерівноважні стани квантових багаточастинкових систем, як відомо, можуть бути описані різними способами, наприклад, в термінах статистичних операторів або кореляційних статистичних операторів (відповідно, функцій розподілу та кореляційних функцій для класичних систем), еволюція яких визначається різними типами еволюційних рівнянь - ланцюжків лінійних або нелінійних рівнянь фон Неймана, ланцюжків лінійних або нелінійних рівнянь Боголюбова. Створення теорії ланцюжків нелінійних еволюційних рівнянь багаточастинкових систем до останнього часу залишалось однією з відкритих проблем, актуальність якої, зокрема, обумовлена проблемою строгого виводу квантових кінетичних рівнянь з динаміки систем частинок.
Список литературы
Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в наукових статтях [1-4], надрукованих у провідних українських наукових журналах, в працях міжнародної конференції та тезах доповідей міжнародних наукових конференцій [5-12].
Структура та обєм роботи.
Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел та додатку. Загальний обсяг дисертації складає 131 сторінку машинописного тексту. Список використаних джерел займає 15 сторінок і містить 121 найменування.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, вказано наукову новизну, теоретичне і практичне значення отриманих результатів. Зазначено особистий внесок здобувача, відмічено про апробацію роботи та публікації автора, а також наведено структуру дисертаційної роботи та зміст її основних розділів.
Перший розділ присвячено огляду строгих результатів та основних етапів розвитку теорії еволюційних рівнянь квантових систем частинок, зроблено огляд сучасного стану та сформульовано відкриті проблеми математичних досліджень з теорії квантових еволюційних рівнянь багаточастинкових систем.
В другому розділі досліджено початкову задачу для ланцюжка квантових рівнянь Боголюбова на основі методу нерівноважних кластерних розкладів. Розвязок такої задачі будується у формі розкладу по групах частинок, еволюція яких описується певного типу еволюційними операторами, які є кумулянтами відповідного порядку еволюційних операторів рівнянь фон Неймана систем скінченного числа частинок. Доведено критерій кумулянтного зображення розвязку ланцюжка рівнянь Боголюбова квантових систем частинок. В основу доведення критерію покладено розвязки ланцюжка нелінійних рівнянь фон Неймана, для якого доведено теорему існування та єдиності розвязку. Досліджено збіжність побудованих розкладів в просторі послідовностей ядерних операторів.
У підрозділі 2.1 введено необхідні факти про динаміку квантової системи не фіксованого (тобто довільного але скінченного) середнього числа тотожних (безспінових) частинок одиничної маси. Стани такої системи описуються нескінченною послідовністю n-частинкових операторів густини, які є позитивними, самоспряженими операторами визначеними на просторі Фока над гільбертовим простором H. Стани системи належать простору послідовностей ядерних операторів з нормою де - дійсне число. Розглядається парний потенціал взаємодії між частинками, що задовольняє умови Като, отже, гамільтоніан системи - самоспряжений оператор в області визначення і діє за формулою
Еволюція станів в просторі ядерних операторів описується початковою задачею для абстрактного ланцюжка рівнянь Боголюбова квантових систем частинок
(1) (2) де використано такі оператори, що діють в просторі ядерних операторів: a - аналог оператора знищення
(3) для елемента на всюди щільній множині фінітних послідовностей вироджених операторів з нескінченно диференційовними ядрами зосередженими на компактах, визначено оператор фон Неймана
(4) де h- стала Планка.
Розвязок початкової задачі (1)-(2), який побудовано в цьому розділі, визначається на основі еволюційного оператора, яким зображується розвязок початкової задачі для рівнянь фон Неймана
Стани системи не фіксованого числа тотожних частинок можна описати не лише в термінах послідовності статистичних операторів (6), що є розвязками послідовності рівнянь фон Неймана, а й в інший еквівалентний спосіб, а саме, в термінах так званої послідовності кореляційних операторів, еволюція яких визначається початковою задачею для ланцюжка нелінійних рівнянь фон Неймана. В підрозділі 2.2 досліджено початкову задачу для ланцюжка нелінійних рівнянь фон Неймана (статистика Максвела-Больцмана), які необхідні для побудови розвязку початкової задачі (1)-(2) та доведено теорему існування та єдиності сильного розвязку в просторі ядерних операторів.
Для квантової системи не фіксованого числа тотожних (безспінових) частинок одиничної маси, розглянуто гамільтоніан системи з потенціалом взаємодії загального типу, що дозволило описати загальну структуру генератора ланцюжка нелінійних рівнянь фон Неймана.
(9)
(10) де , тут використано такі позначення: Y=(1,…,n), |Y|=n- означає кількість елементів множини Y.
Оператор фон Неймана визначається формулами (4), та
(11) де - n-частинковий потенціал взаємодії. Оператор фон Неймана є інфінітезимальним генератором групи еволюційних операторів (7). Оператори g(t) інтерпретуються як кореляційні статистичні оператори.
Для початкової задачі (9)-(10) справедлива така теорема.
Теорема 1 Якщо , , тоді для існує єдиний сильний розвязок задачі Коші (9)-(10) для ланцюжка нелінійних рівнянь фон Неймана (9), який визначається формулою
(12)
Де
(13)
В формулі (13) використано такі позначення: - множина, елементами якої є |P| підмножин , і використано позначення формули (9). Еволюційний оператор інтерпретується як кумулянт (семіінваріант) |Р|-го порядку еволюційних операторів (лінійних) рівнянь фон Неймана (5).
В підрозділі 2.3 введено означення кластерного розкладу еволюційних операторів (7) в загальному випадку. Позначимо через множину, яка складається з елементів , де символ відображає ту обставину, що множина (1,…,s)=Y є звязною частиною (кластером s частинок) розбиття множини X=(1,…,s,s 1,…,s n) на n 1 елемент.
Кумулянтом n-порядку еволюційних операторів (7) рівнянь фон Неймана (5) (статистика Максвела-Больцмана) називається розвязок таких рекурентних співвідношень (кластерних розкладів еволюційних операторів (7)), що для будь-якого :
В підрозділі 2.4 в просторі ядерних операторів доведено критерій кумулянтного зображення розвязку ланцюжка квантових рівнянь Боголюбова.
Теорема 2 Якщо , то розвязок початкової задачі (1)-(2) визначається розкладами
(15) тоді і тільки тоді, коли еволюційні оператори , n>0, є кумулянтами еволюційних операторів рівнянь фон Неймана, тобто є розвязками рекурентних співвідношень (кластерних розкладів) (14
Для доведення критерію було встановлено, що розвязок початкової задачі (1)-(2) можна виразити через розвязки початкової задачі для ланцюжка нелінійних рівнянь фон Неймана (9)-(10), а саме:
(17) де g(t) - розвязок (12) ланцюжка нелінійних рівнянь фон Неймана (9)-(10) для системи, що складається з кластера Y=(1,...s) та (s 1)-ї, ,(s n)-ї частинки.
В підрозділі 2.5 розглядається початкова задача для абстрактного ланцюжка рівнянь Боголюбова в просторі послідовностей ядерних операторів для загального типу потенціалів взаємодії
Доведено (лема 2.4), що у випадку парного потенціалу взаємодії генератор ланцюжка рівнянь Боголюбова (18) набуває вигляду генератора ланцюжка рівнянь Боголюбова (1).
В цьому ж підрозділі для початкових даних з простору послідовностей ядерних операторів побудовано розвязок початкової задачі (18)-(19) у формі розкладу (15) по кумулянтах еволюційних операторів рівнянь фон Неймана (5), для якого за умови, що a>e, справедлива така оцінка (лема 2.5)
(20) де c - константа.
Третій розділ дисертаційної роботи присвячено дослідженню властивостей групи, якою визначається розвязок ланцюжка квантових рівнянь Боголюбова, доведено теорему існування та єдиності кумулянтного зображення розвязку в просторі послідовностей ядерних операторів.
В підрозділі 3.1 показано, що вираз для розвязку (15) для визначає однопараметричну сімю відображень простору послідовностей ядерних операторів в себе, і справедлива теорема
Теорема 3 Група визначена в просторі послідовностей ядерних операторів і є групою операторів класу C0.
Використовуючи результати теореми 3.1 та леми 2.5 у підрозділі 3.2 для систем частинок з потенціалом взаємодії, що задовольняє умови Като, доведено таку теорему.
Теорема 4 Якщо , то за умови для існує єдиний розвязок задачі Коші (1)-(2) який зображується формулою (15)
Для початкових даних - це сильний розвязок, а для довільних початкових даних з простору послідовностей ядерних операторів - слабкий розвязок.
В підрозділі 3.3 доведено, що виразом (21) для початкових даних з простору послідовностей ядерних операторів визначається слабкий (узагальнений) розвязок ланцюжка квантових рівнянь Боголюбова (1)-(2). Для доведення існування слабкого розвязку в просторі послідовностей обмежених операторів побудовано розвязок дуального ланцюжка квантових рівнянь Боголюбова.
В підрозділі 3.4 досліджено питання еквівалентності різних зображень розвязку ланцюжка квантових рівнянь Боголюбова, в основу побудови яких покладено кластерні розклади еволюційних операторів (7) рівнянь фон Неймана (5).
В четвертому розділі побудовано ланцюжок нелінійних рівнянь Ліувілля та доведено існування розвязку цього ланцюжка для початкових даних з простору інтегровних функцій. На основі цього розвязку побудовано кумулянтне зображення s-частинкових кореляційних функцій. Як приклад застосування кумулянтного зображення розвязку в просторі послідовностей інтегровних трансляційно-інваріантних функцій показано збіжність ряду, яким зображується двочастинкова кореляційна функція для системи пружних куль.
Стани системи не фіксованого середнього числа тотожних частинок можна описати не лише в термінах послідовності функцій розподілу, що є розвязками послідовності рівнянь Ліувілля, а й в інший, еквівалентний спосіб, а саме, в термінах так званої послідовності кореляційних функцій, еволюція яких визначається початковою задачею для ланцюжка нелінійних рівнянь Ліувілля. В підрозділі 4.1 розглянуто класичні системи не фіксованого числа тотожних частинок одиничної маси, кожна з яких характеризується фазовими координатами , v>1, n-частинкова підсистема якої, n>1, визначається гамільтоніаном де - k-частинковий потенціал взаємодії. Вважається, що потенціали системи , k>1, задовольняють умови, які гарантують існування глобальних за часом розвязків початкової задачі для рівнянь Гамільтона.
Для послідовності кореляційних функцій визначених на фазовому просторі , v>1, які симетричні відносно перестановок аргументів, задача Коші для ланцюжка нелінійних рівнянь Ліувілля має вигляд
(22)
(23) де , - сума по всіх можливих розбиттях P множини Y на |P| непорожніх підмножин XIEY, що взаємно не перетинаються. Оператор Ліувілля визначається за формулами
(24) де - скалярний добуток.
Для початкових даних (23) з підпростору неперервно диференційовних функцій з компактними носіями банахового простору інтегровних функцій справедлива теорема.
Теорема 5 Якщо , n>1, то для існує єдиний сильний розвязок задачі Коші (22)-(23) для ланцюжка нелінійних рівнянь Ліувілля (22), який визначається формулою
(25)
В формулі (25) використано такі позначення: - множина, елементами якої є |P| підмножин . Еволюційний оператор - кумулянт (семіінваріант) |Р|-го порядку визначається в такий спосіб
(26)
Група еволюційних операторів S(-t), яка описує еволюцію системи скінченного, , числа частинок.
В підрозділі 4.2 розвивається ще один підхід до опису станів систем частинок, а саме, опис в термінах s-частинкових кореляційних функцій G(t). Такі функції визначаються кластерними розкладами розвязків F(t) початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова
де Y=(1,…,s), - сума по всіх можливих розбиттях P множини Y на |P| непорожніх підмножин, які не перетинаються.
Встановлено, що s-частинкові кореляційні функції G(t) представляються через розвязки g(t) початкової задачі для ланцюжка нелінійних рівнянь Ліувілля (22)-(23), для початкових даних, що задовольняють умову "хаосу", розвязок ланцюжка нелінійних рівнянь Боголюбова зображується такою формулою:
(29)
В підрозділі 4.3 розглянуто приклад точно розвязуваної моделі статистичної механіки, а саме, систему частинок, які взаємодіють між собою як пружні кулі. Це дозволило отримати явні вирази (аналоги формул Дюамеля), якими визначається дія кумулянтів довільного порядку (26) на початкові функції.
В підрозділі 4.4 для системи пружних куль досліджено властивість кореляційної функції (25) двох частинок, а на її основі - властивість двочастинкової кореляційної функції (29). Побудовано оцінку (лема 4.1), з якої випливає, що двочастинкова кореляційна функція є інтегровною трансляційно-інваріантною по конфігураційних змінних. Цей результат інтерпретується як властивість спадання кореляцій, що виникають в процесі еволюції системи і доводить принцип послаблення кореляцій, сформульований Боголюбовим.
В додатку А наведено означення та доведення необхідних технічних результатів, які використовуються в дисертації.
ВИСНОВКИ
В дисертаційній роботі досліджено властивості еволюційних рівнянь класичних та квантових багаточастинкових систем. Узагальнено метод нерівноважних кластерних розкладів еволюційних операторів побудови розвязку початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова на квантові системи частинок (статистика Максвела-Больцмана). Доведено критерій кумулянтного зображення розвязку початкової задачі для ланцюжка квантових рівнянь Боголюбова на основі розвязків початкової задачі для ланцюжка нелінійних рівнянь фон Неймана. Доведено теорему існування та єдиності кумулянтного (семіінваріантного) зображення розвязку початкової задачі для ланцюжка квантових рівнянь Боголюбова в просторі послідовностей ядерних операторів. Побудовано розвязок початкової задачі для ланцюжка нелінійних рівнянь Ліувілля. Доведено теорему існування та єдиності розвязку таких рівнянь в просторі інтегровних функцій та для випадку точно розвязуваної моделі досліджено властивості розвязку для початкових даних, які є трансляційно-інваріантними по конфігураційних змінних функціями.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
Штик В. О. Про розвязки ланцюжка нелінійних рівнянь Ліувілля // Доп. НАН України, 2006. - № 7. - C. 38-42.
Герасименко В. І., Штик В. О. Початкова задача для ланцюжка рівнянь Боголюбова квантових систем частинок // Укр. мат. журн., 2006. - 58, № 9. - C. 1175-1191.
Герасименко В. І., Штик В. О. Критерій існування кумулянтного зображення розвязків ієрархії рівнянь Боголюбова квантових систем // Доп. НАН України, 2006. - № 8. - C. 7-13.
Gerasimenko V. I., Shtyk V. O. Cumulant expansions for solution of quantum BBGKY hierarchy //Proc. of contributed papers of XIIITH International Congress on Plasma Physics(ICPP 2006) //BITP NAS of Ukraine, TOPIC A: Fundamental Problems of Plasma Physics, 2006. - A014p. - P. 1-4.
Gerasimenko V. I., Shtyk V. O. Cumulant expansions for solution of the quantum BBGKY hierarchy // XIIITH International Congress on Plasma Physics(ICPP 2006): Book of absracts.Part I. - Kyiv: BITP NAS of Ukraine, 2006. - P. 25.
Gerasimenko V. I., Shtyk V. O. On solution representations of quantum BBGKY hierarchy // Conf. Stat. Phys. 2006: Condensed Matter: Theory and Applications. Program abstracts. - Kharkiv: FTINT NAS of Ukraine, 2006. - P. 90.
Gerasimenko V. I., Shtyk V. O. On solutions of quantum evolution equations // Mathematical Analysis, Differential Equations And Their Applications. Abstracs. - Kyiv: Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, 2006. - P. 147-148.
Shtyk V. O. On the structure of initial value problem of the nonlinear Bogolyubov hierarchy for classical infinite particle system // Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics: Abstracts. - Kyiv: Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, 2004. - http://www.imath.kiev.ua/ appmath/Abstracts2005/Shtyk.html
Shtyk V. O. Initial value problem of nonlinear Bogolyubov hierarchy // Nonlinear Physics and Mathematics. International Workshop: Book of abstracts. - Kyiv: BITP NAS of Ukraine, 2006. - P. 38.
Gerasimenko V.I., Shtyk V. O. On the solutions representations of the initial value problem to the quantum BBGKY hierarchy // Quantum transport: modelling, analysis and asymptotics. International Workshop. - Cetraro: C.I.M.E., 2006. - http://web.math.unifi.it/users/cime/Courses/2006/04/poster shtyk.pdf
Shtyk V. O. On the structure of expansions for solutions of the nonlinear Bogolyubov hierarchy // Modern Problems of Math. and Theor. Phys. Bogolyubov Kyiv conference: Book of absracts. - Kyiv: Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, 2004. - P. 54.
Shtyk V. O. On the solution representations of the initial value problem to the quantum BBGKY hierarchy // Modelling cellular systems with applications to tumour growth. - Bedlewo: C.I.M.E., 2006. - P.1.