Свойства простых чисел. Умножение числа на Пифагорову тройку с использованием универсальной формулы. Нахождение свойств бесконечного количества Пифагоровых троек, расположенных на прямой, удовлетворяющих теореме Ферма. Доказательство теоремы Пифагора.
Аннотация к работе
Существует большое количество формулировок теоремы Ферма и все они сводятся к одному, что уравнение вида Xn Yn = Zn не имеет решение в целых положительных числах Х, Y, Z, при n > 2. (3), Преобразуем уравнение (3) в уравнение вида: (4), Уравнение (4) преобразуется в уравнение вида: (5), При , где уравнение (5) преобразуется в уравнение вида: (6), (7), (8), Примем Х=Ар - простое число, тогда уравнение (6) примет вид: (9), (10), (11), Рассмотрим случай, когда n-четное число. Рассматривая выражение вида: можно увидеть, что уравнение имеет общий множитель , тогда при уравнение принимает единственное решение, а именно: (17), (18), (19). Все простые числа больше 2 - числа нечетные, поэтому Y и Z всегда будут целыми, причем при Ар min = 3, то есть Ар2 = 9 и , То есть при Х=3 появились наименьшие 3 числа - Х, Y, Z - которые называются пифагоровы числа (пифагоровы тройки). N1 = 1 <12, число 1 не удовлетворяет условию так как оно нечетное, поэтому опускаем его, N2 = 2 <12, удовлетворяет условиям, N3 = 3 <12, число 3 не удовлетворяет условию так как оно нечетное, поэтому опускаем его, N4 = 4 <12, удовлетворяет условиям, N5 = 6 <12, удовлетворяет условиям, N6 = 8 <12, удовлетворяет условиям, Следующее значение «12» будет равно Х=12, при этом Y=0, Z=12.
Введение
пифагор ферма умножение
Существует большое количество формулировок теоремы Ферма и все они сводятся к одному, что уравнение вида Xn Yn = Zn не имеет решение в целых положительных числах Х, Y, Z, при n > 2.
Итак, имеем уравнение вида
Xn Yn = Zn (1), где при Х, Y, Z, n - целые числа, причем при n > 2 уравнение (1) не имеет решение.
Допустим an bn = cn (2), Разложим
(3), Преобразуем уравнение (3) в уравнение вида: (4), Уравнение (4) преобразуется в уравнение вида: (5),
При , где уравнение (5) преобразуется в уравнение вида: (6), (7), (8), Примем Х=Ар - простое число, тогда уравнение (6) примет вид: (9), (10), (11), Рассмотрим случай, когда n- четное число.
При n - четное число - целое число, - целое число, тогда - целое число.
При
, поэтому < и, вообще, при значениях , , , …, значения и - целые числа, то есть є , где R є , поэтому можно записать: , подставляя и сокращая получим
(12), Итак имеем: (13), (14), Тогда: (15),
(16), Из выражений (15) и (16) видно, что при n- нечетное число R может принимать значения: R є[ 0,5; 1,0 ; 1,5; …; ]
Рассматривая выражение вида:
можно увидеть, что уравнение имеет общий множитель , тогда при уравнение принимает единственное решение, а именно: (17), (18), (19).
При n>2 разница между и «единица», поэтому Y и Z не могут быть одновременно целыми числами, а при n=2 выражение (18) и (19) преобразуется в выражение:
и .
Отсюда видно, что при АР = любое простое число > 2 Y и Z всегда целые числа.
Отсюда, имеем уравнение вида
Xn Yn = Zn не имеет решение в целых положительных числах Х, Y, Z, n при n > 2.
ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА.
1. Некоторое решение (исследование) для случая при n=2
В уравнении вида:
при n=2 получим
Или: при n=2 R=1 - всегда, тогда уравнение вида:
преобразуется в уравнение
(20).
Все простые числа больше 2 - числа нечетные, поэтому Y и Z всегда будут целыми, причем при Ар min = 3, то есть Ар2 = 9 и , То есть при Х=3 появились наименьшие 3 числа - Х, Y, Z - которые называются пифагоровы числа (пифагоровы тройки).
Еще одно замечательное свойство при Х = Ар, то есть при Х - простые числа - это Z всегда больше Y на единицу, то есть
Х2 = (Z-Y)(Z Y)
Х2 = 1(Y (Y 1)), (21).
Рассмотрим случай, когда Х =N - число составное.
Имеем: , подставим n=2 и X=N, тогда , отсюда
2b - целое число, причем 2b є[ 1; 3; 5; …; N-1] - для нечетных N, 2b є[2; 4; 6; …; N-1] - для четных N.
Отсюда видно, что значение 2b может удовлетворять любому произведению простых чисел в составе Х2 (N2) , при этом само произведение меньше самого числа Х (N).
Например: Пусть Х =3х5 = 15, тогда Х2 = 3х3х5х5 = 225, Для Х=3 имеем и , Для Х=5 имеем и , Умножим Х=3 на пифагорову тройку 5, 12, 13 - получим тройку 15, 36, 39
Мы получили три пифагоровы тройки. Но при этом этот расчет показывает, что для Х=15 найдены не все пифагоровы тройки.
Тогда воспользуемся нашими формулами по другому, а именно - путем перебора произведения((19), где Х-Z=Ni) всех простых чисел в составе числа Х2 при условии, что их произведение должно быть меньше значения Х, находим
N1 = 1 < Х=15, N2 = 3 < Х=15, N3 = 5 < Х=15, N4 = 9 < Х=15, Следующее значение «15» будет равно Х=15, при этом Y=0, Z=15.
Нетрудно увидеть, что N1, N2, N3, N4 - это есть Z-Y, то есть при
Х2 = (Z-Y)(Z Y) = N(Y (Y N)) - где Y N = Z мы видим: Х2 = N1(Y (Y N1)) = 1(Y (Y 1))=1(112 (112 1)), где Y=112; Z= 113
Х2 = N2(Y (Y N2)) = 3(Y (Y 3))=3(36 (36 3)), где Y=36; Z= 39, Х2 = N3(Y (Y N3)) = 5(Y (Y 5))=5(20 (20 5)), где Y=20; Z= 25, Х2 = N4(Y (Y N4)) = 9(Y (Y 9))=9(8 (8 9)), где Y=8; Z= 17, Таким образом, при Х=N - составное число мы имеем на примере Х=15 четыре Пифагоровы тройки, а именно: 15, 112, 113
15, 36, 39
15, 20, 25
15, 8, 17
Они зависят только от самого числа Х.
Рассмотрим пример, когда Х= 2х3 = 6, Х2 = 2х2х3х3 = 36
Путем перебора всех простых чисел в составе числа Х2 при условии, что их произведение должно быть меньше значения Х, находим: N1 = 1 < 6, но число 1 не удовлетворяет условию так как оно нечетное, поэтому опускаем его.
N2 = 2 < 6 - удовлетворяет условию, N3 = 3 < 6 - но число 3 не удовлетворяет условию так как оно нечетное, поэтому опускаем его, N4 = 4 < 6 - удовлетворяет условию, Следующее значение «6» будет равно Х = 6, при этом Y=0, Z=6.
- условию не удовлетворяет, так как сумма Y Z=9 нечетная, поэтому при определении Пифагоровых троек составными числами появляется еще одно из условий для Х - четное число, чтобы сумма Y Z при Ni была тоже четной.
Из этих примеров можно заметить, что при умножении простого числа на "2" происходит простое увеличение Пифагоровой тройки.
Но при умножении простого числа на какое-то четное число, отличное от "2" появляется несколько Пифагоровых троек с одним и тем же Х.
Рассмотрим случай, когда Х = 2х2х3 = 12, Х2 = 2х2х2х2х3х3 = 144
Имеем значения
N1 = 1 < 12, число 1 не удовлетворяет условию так как оно нечетное, поэтому опускаем его, N2 = 2 < 12, удовлетворяет условиям, N3 = 3 < 12, число 3 не удовлетворяет условию так как оно нечетное, поэтому опускаем его, N4 = 4 < 12, удовлетворяет условиям, N5 = 6 < 12, удовлетворяет условиям, N6 = 8 < 12, удовлетворяет условиям, Следующее значение «12» будет равно Х=12, при этом Y=0, Z=12.
Х2 = N2(Y (Y N2)) = 2(Y (Y 2))=2(35 (35 2)), где Y= 35; Z= 37, Х2 = N4(Y (Y N4)) = 4(Y (Y 4))=4(16 (16 4)), где Y= 16; Z= 20, Х2 = N5(Y (Y N5)) = 6(Y (Y 6))=6(9 (9 6)), где Y= 9; Z= 15, Х2 = N6(Y (Y N6)) = 8(Y (Y 8))=8(5 (5 8)), где Y=5; Z= 13, Из случая, когда Х= 12 видно, что появились четыре пифагоровы тройки
12, 35, 37
12, 16, 20
12, 9, 15
12, 5, 13
На этом примере видно, что при умножении простого числа на "4" в теле составного числа появились четыре Пифагоровы тройки, поэтому простое умножение минимальной Пифагоровой тройки не дает полный результат нахождения всех "троек" при каком-то составном числе Х.
Рассматривая пример, когда Х=2х3х3 = 18, а Х2 = 2х2х3х3х3х3 = 324 можно рассчитать такие Пифагоровы тройки -
18, 80, 82
18, 24, 30
Разбирая этот случай для Х=18, где в теле есть одна "2" и два простых числа, можно увидеть, что появились две Пифагоровы тройки.
Итак, если в теле составного числа имеется одна "2" и одно любое простое число, то это составное число имеет только одну Пифагорову тройку.
2. Простое для простого
При доказательстве теоремы ФЕРМА в части при n = 2 появилось широкое поле для творчества - нахождение количества "троек" при каком-то составном числе, нахождение других свойств бесконечного количества Пифагоровых троек, расположенных на числовой прямой, удовлетворяющих теореме ФЕРМА и как случая Теореме ПИФАГОРА.
Для наглядности можно привести весь список Пифагоровых троек от Х=3 до Х= 50, пользуясь только калькулятором и применяя для каждой "тройки" одну универсальную ФОРМУЛУ